时间依赖PDE约束优化问题的高效预处理和迭代求解技术研究

The time-dependent PDE-constrained optimization problems have plenty of practical application backgrounds, which play crucial roles in the theoretical study and the practical application. In consideration of the complexity of the practical problems, in particular, the existence of the time derivative terms, it usually involves the solution of large sparse and ill-conditioned discrete saddle point linear systems in the process of numerical solution, which increases the difficulty to solve these problems. In this project, we focus on the numerical solution methods based on multiharmonic finite element discretization or tensor structured all-at-once discretization, which overcome the sequential property of the traditional time-stepping methods, and study the preconditioning and iterative solution techniques that significantly improve the efficiency of their implementation. Based on the related results for time-independent PDE-constrained optimization problems and by drawing on the existing researches on time-dependent problems, we select suitable iteration methods and construct robust preconditioners to accelerate their convergence rates. Finally, by systematic convergence and spectral analysis, stable and fast preconditioning and iterative solution methods are schemed out for solving different kinds of specific problems, which are parallelizable or suitable for low-rank tensor solution, so that providing effective algorithm guarantee for the solution of time-dependent PDE constrained optimization problems.

时间依赖PDE约束优化问题的应用背景十分丰富，其在理论研究和实际应用领域均具有非常重要的地位。考虑到实际问题的复杂性，尤其时间导数项的存在，在数值求解这类问题的过程中，通常会涉及到求解大型稀疏病态的离散鞍点线性系统，增大了问题求解的难度。本项目关注能够克服传统“时间步”方法的“串行性”缺陷的、基于“多谐”有限元离散或具“张量积”结构的“一次性”离散的有效数值求解方法，研究能够显著改善其实现效率的预处理和迭代求解技术。针对不同形式的具体问题，我们以不依赖时间变量的PDE约束优化问题的相关研究为基础，并借鉴已知的有关时间依赖问题的研究成果，选取适当的迭代求解算法，并构造高效的预处理子加速其收敛速率。最终，在系统的收敛性分析和谱分析的基础上，设计出能够实现“并行化”或“低秩”张量计算的稳定快速预处理和迭代求解方法，为求解时间依赖PDE约束优化问题提供有效的算法保障。

由非稳态方程作为约束的时间依赖优化控制问题具有广泛的应用背景，为科学计算和工程应用领域中大量实际问题的有效解决提供了宝贵的模型。考虑到实际问题的复杂性，尤其时间导数项的存在，在数值求解这类问题的过程中，通常会涉及到求解大型稀疏病态的离散鞍点结构线性系统，增大了问题求解的难度。本项目关注能够克服传统“时间步”方法的“串行性”缺陷的、基于“多谐”有限元离散或具“张量积”结构的“一次性”离散的有效数值求解方法，设计出能够显著改善其实现效率的预处理和迭代求解技术。针对产生于数值求解时谐抛物和涡流方程作为约束的最优化控制问题的复值鞍点线性系统，我们构造和分析了一类可将预处理矩阵的谱条件数降低为2的有效的结构化预处理子，并结合Chebyshev半迭代加速技巧，设计了渐进收敛速率接近于0.17的快速的非稳态二阶迭代算法。对于更为一般化的时间周期情形，通过采用了与周期函数的Fourier级数逼近相结合的“多谐”有限元数值离散方法，我们得到了一系列相互独立且适用于并行求解的四乘四分块线性系统，并提出了两类求解此类分块线性系统的鲁棒预处理子，显著改善了同类预处理子的谱分布结果，并规避了内外相结合的算法实现过程，显著节约了计算工作量。基于产生于速度追踪Stokes优化控制问题的双层离散鞍点结构线性系统的新的等价变形技巧，我们提出了两类有效的预处理子，并且给出了能够避免求解其内外相结合的迭代实现过程中所涉及到的鞍点线性系统的实用不精确变形。针对利用“一次性”策略求解抛物和时间分数阶优化控制问题所产生的的具有互异主对角块的二乘二分块张量积和Toeplitz结构线性系统，我们提出了能够借助低秩近似和对角化技术与“时间低秩”和“时间并行”策略相结合的有效预处理子。数值实验表明，我们所设计的预处理和迭代求解技术，均展现出了不依赖于问题规模，以及频率和正则化参数的稳定高效的数值表现，为求解几类PDE约束优化问题提供有效的算法保障。