微分代数方程组的波形松弛算法及其在计算流体力学中的应用

微分代数方程组是准确描述带约束物理系统的重要数学工具，波形松弛算法则是求解大规模微分代数方程组的主要手段，而流体力学被广泛应用于气象、水利、船舶、飞行器、叶轮机械和核电站等现代关键科技问题的研究。本项目以微分代数方程组的波形松弛算法及其在计算流体力学中的应用为科学主题，主要涉及以下四个方面：利用Laplace变换研究变系数线性微分代数方程组和非线性微分代数方程组的波形松弛算法收敛理论，特别要估计波形松弛算法的收敛速度；研究求解常系数线性微分代数方程组的卷积型超松弛加速算法和卷积型Krylov子空间加速算法及其理论，要得到卷积型加速算法及理论的基本框架；研究多重网格和瀑布式多重网格技术加速的分块波形松弛算法在计算流体力学中的应用，要设计出高效实用的算法；开发求解流体力学方程组的多重网格和瀑布式多重网格分块波形松弛算法软件，要形成健壮而可靠的数值软件包。

微分代数方程组被广泛应用于科学与工程的各个领域。波形松弛算法是求解微分代数方程组的重要数值方法。流体力学方程组经过空间半离散之后往往得到微分代数方程组。本项目以微分代数方程组、波形松弛算法以及计算流体力学为科学主题，具有重要的理论意义和应用价值，项目主要进展如下：研究了线性变系数微分代数方程组的可解性理论，获得了其波形松弛算法收敛速度的理论结果；研究了非自伴正定线性微分方程组的波形松弛算法，并将该算法应用于求解对流-扩散方程组经空间半离散后得到的非定常离散椭圆问题，以及该波形松弛算法的Krylov子空间加速算法和多重网格加速算法；利用广义超松弛技术提出求解非定常Stokes方程组的波形松弛算法，并对该波形松弛算法进行多重网格加速；编制了大量计算程序，用波形松弛算法求解非定常对流-扩散方程和非定常Stokes方程。