随机变分不等式与互补问题中的风险测度模型及其应用

The variational inequalities problem includes many mathematics problems, such as complementarity problems. The variational inequalities problem is a very significant problem, because it describes the equilibrium condition of many practical problems. Compared with its certain counterpart, the stochastic variational inequalities problem has to optimize the risk caused by the uncertainty. Current models on stochastic variational inequalities problem are constructed on the basis of the traditional mean-variance models. In this study, we focus on the new risk optimization models, such as value-at-risk(VaR) and conditional value-at-risk(CVaR) and will study how to construct new models based on these techniques. On the other hand, in the case when the probability distribution of the random vector is partially known, we will study worst-case based CVaR (i.e., WCVaR) stochastic variational inequalities problem. We will study the theoretical properties of the above models, propose the numerical algorithms for solving them, and analyze the convergence of these algorithms. Finally, we will study the application of these new methods on the stochastic Nash equilibrium problem.

变分不等式涵盖了包括互补问题在内的许多数学问题，对许多实际问题而言，它是对系统均衡条件的一种刻画，因而有十分重要的研究意义。随机变分不等式需要在确定性模型的基础对风险因素进行优化。现有的随机变分与互补模型基本上局限于传统的以均值-方差为基础的风险优化模型。本项目旨在利用随机规划和金融优化领域的新成果，研究利用在险价值（VaR）、条件在险价值（CVaR）等新的风险优化模型构建和求解随机变分模型。对于VaR模型，主要研究允许函数部分分量不满足约束的模型。对于CVaR，分别研究在目标函数和约束函数中包含CVaR的问题。同时，针对实际问题中随机项的概率分布往往不能完全确定的情形，将结合稳健规划思想，研究基于最坏情形下条件在险价值（即WCVaR）的随机变分与互补模型。通过研究这些模型的理论性质，给出求解算法，并探索它们在随机纳什均衡等实际问题中的应用。

互补与变分不等式问题是对系统均衡条件的一种刻画，因而在理论与实际应用方面均有十分重要的研究意义。随机变分不等式则是在引入随机风险因素的基础上寻求对均衡问题的优化求解。现有的随机变分与互补模型基本上局限于传统的以均值-方差为基础的风险优化模型。本项目旨在利用随机规划和金融优化领域的新成果，研究利用凸风险测度，包括条件在险价值（CVaR）等新的风险优化模型构建和求解随机变分模型。. 本项目研究主要进行了三个方面的工作：现有随机互补模型的改进；凸风险测度性质的研究及其在随机规划、随机互补问题中的应用；各种风险测度模型下的随机规划，特别是多阶段分布鲁棒随机优化问题。. 现有随机互补模型的改进主要是在均值-方差框架内进行，也包括作为其基础的确定性互补问题的算法研究。对于随机模型，通过在期望值模型中引入辅助变量，并将无偏性准则替换为最小偏差（即最小二乘）准则，我们提出了一类统计意义更为明确的随机互补模型。对于确定性模型，提出了两类新的求解退化互补问题的积极集方法。. 关于风险度量的研究，我们给出了以一般凸风险测度为目标函数的随机规划模型的求解算法。该类凸风险测度包含了期望值、CVaR等大部分常见的度量函数，大大拓展了随机规划模型中风险度量函数的使用范围，在理论与实际应用中有重要意义。. 关于多阶段分布鲁棒随机优化问题，我们对离散与连续情形下的多阶段决策问题都给出了基于向前步和向后步的分解算法，并论证了算法收敛性。分布鲁棒随机优化是目前的研究热点，但关于多阶段问题的研究很少。我们的研究为解决此类问题提供了有效工具，也可以直接应用于多阶段分布鲁棒随机变分不等式问题的求解。我们还研究了有关成果在保险领域的应用，提出了一类分布不确定条件下的再保险稳健自留额。