半变分不等式的新问题及其在力学问题中的应用

本项目利用误差界分析理论、适定性理论研究涉及非凸非光滑"能量函数"的半变分不等式的算法分析。我们将构造合适的间隙函数，把半变分不等式问题转化为非光滑无约束优化问题，从而设计出逼近解的有效算法，并利用误差界理论讨论该算法的收敛性分析及收敛速率的估计；定义半变分不等式问题的适定性，讨论半变分不等式问题适定性的度量性质及其与半变分不等式问题解的存在性、唯一性之间的关系。作为应用，我们将上述研究所得的算法分析结果应用于一类弹性体的摩擦接触问题，建立描述这类问题的半变分不等式模型，获得逼近解的有效算法。本项目的研究，不但可以丰富和发展半变分不等式及其变分不等式问题、最优化问题及均衡问题等相关学科的理论发展，而且可以为解决产生于力学和工程中的许多实际问题提供有效理论依据。

项目主要研究了产生于力学及工程科学中的半变分不等式、变分不等式及其相关问题。在理论研究方面，（1）研究了相关半变分不等式、变分不等式及其系统问题的可解性条件与解的存在唯一性条件；（2）将Browder-Tikhonov正则化方法引入到发展型半变分不等式问题的研究，构造了解的正则化序列并证明了相关的收敛性结果；（3）利用广义f-投影算子，研究了变分不等式及相关问题的可解性，获得了其解的近似序列及其收敛性结果；（4）将适定性（well-posedness）的研究推广到了不同形式的半变分不等式问题的研究，定义了半变分不等式问题的适定性，讨论了具体有适定性的半变分不等式问题的度量性质，证明了半变分不等式的适定性与相应的包含问题适定性的等价关系并给出了半变分不等式适定性与其解的存在唯一性等价的条件。在应用研究方面，（1）对于力学问题中的涉及粘弹性材料的 摩擦接触问题以及时间依赖的拟静态摩擦接触问题，建立的相应的变分不等式模型并获得了其可解性条件及解的唯一性条件；（2）在需求不确定下，研究了航空运输业中机场Capacity规划及定价问题，建立了相应的数学模型，讨论了在不同所有制下（私营及政府公共所有）机场Capacity的最优设置及最优定价。研究所得的成果均发表或被接收发表在国外重要的学术期刊上，其中17篇研究论文被SCI收录，1篇被SSCI收录。上述研究成果不仅丰富和发展了半变分不等式、变分不等式及相关问题的理论、方法和技巧，而且为力学及工程问题中的许多实际问题的研究提供了重要的参考价值。