带竞争的分枝过程的随机流和分枝粒子系统

Branching processes and branching particle systems are mathematical models for populations evolving randomly in certain environments. To join the competition in branching processes or branching particle systems, we get the so-called branching processes with competition or branching particle systems with competition. First we will construct the stochastic flows of branching processes with competition by stochastic equations, and establish the convergence of the renormalized discrete-state model to the continuous-state model in the setting of path-valued processes. Then we will use stochastic equations to construct branching particle systems with competition, study their extinction probability and show that after suitable renormalization it can converge to some superprocess with competition, which satisfies some martingale problem. At last we prove this martingale problem has a unique solution.

分枝过程和分枝粒子系统是研究粒子群体在一定的环境下发展演化的数学模型，在分枝过程或分枝粒子系统中加入竞争机制，便得到所谓的带竞争的分枝过程或分枝粒子系统。首先我们将用随机方程分别构造离散状态和连续状态的带竞争的分枝过程的随机流，证明作为轨道值过程，离散的随机流可以收敛到连续的随机流。然后我们用随机方程构造带竞争的分枝粒子系统，研究其灭绝概率并证明其重整化之后会收敛到满足一定鞅问题的带竞争的超过程，最后再证明其满足的鞅问题的解是分布唯一的。

分枝过程和分枝粒子系统是研究粒子群体在一定的环境下发展演化的数学模型，在分枝过程或分枝粒子系统中加入竞争机制，便得到所谓的带竞争的分枝过程或带竞争的分枝粒子系统。申请人所取得的科研成果主要有三个：首先，用随机方程构造了一般的带竞争的分枝过程，建立了此类过程和一类由非负跳的Lévy过程驱动的随机方程的强解的一一对应关系，并利用此结果解决了分枝过程和Logistic分枝过程的最大跳的分布问题；其次，用随机方程分别构造了带竞争的离散状态的和连续状态的分枝过程的随机流，并证明了离散状态的分枝流重整化之后诱导的测度值过程会收敛到连续状态重整化之后诱导的带竞争的具有非局部分枝的超过程；最后，用随机方程构造了带竞争的分枝粒子系统，研究其鞅性质，并证明其重整化极限为满足一定的鞅问题的超过程。