带竞争的分枝过程和超过程

Branching processes and superprocesses are the mathematical models for populations evolving randomly in certain environments. To join the competition in branching processes or superprocesses, we get the so-called branching processes with competition or superprocesses with competition. First we will construct branching processes with competition, in both discrete and continuous-state space, by stochastic equations and study their scaling limit problems. Then we will use stochastic equations to construct some branching particle systems with competition and show that after suitable renormalization they can converge to some superprocesses with competition.

分枝过程和超过程是研究粒子群体在一定的环境下发展演化的数学模型，在分枝过程或超过程中加入竞争机制，便得到所谓的带竞争的分枝过程或超过程。首先我们将用随机方程分别构造离散状态和连续状态的带竞争的分枝过程，研究它们之间的极限问题；然后用随机方程构造一些带竞争的分枝粒子系统，研究其重整化之后到带竞争的超过程的收敛问题。

分枝过程与超过程是研究粒子群体在一定的环境下发展演化的数学模型，也是概率论研究的热点领域，在统计物理、金融数学、遗传学和生物数学上都有着非常广泛的应用 (Jagers (1975), Taib (1992)，Kimmel 与 Axelrod (2002) 等)。如果考虑在粒子的发展演化中存在竞争的情形，便得到带竞争的分枝过程，显然它比分枝过程有更广泛的应用。本项目研究内容分为带竞争的分枝过程和带竞争的分枝粒子系统两部分，主要是用由布朗运动和泊松随机测度驱动的随机积分方程构造离散状态的带竞争的分枝过程或分枝粒子系统，证明在一定的条件下，它们的尺度极限为连续状态的带竞争的分枝过程或超过程。具体来说，在带竞争的分枝过程方面，用随机方程分别构造了带竞争的两物种离散状态分枝过程和带竞争的分枝过程的随机流，证明了在一定条件下，它们的尺度极限分别是两物种带竞争的分枝过程和带竞争的超过程。在带竞争的分枝粒子系统方面，用随机方程分别构造了带竞争的分枝粒子系统和带变异的交互分枝粒子系统，证明在一定的条件下，它们的尺度极限为带竞争的超过程或交互作用的超过程, 具有局部或非局部的分枝机制。本项目的意义在于把一般的分枝过程推广到带竞争的情况，构造的模型更接近实际，应用更加广泛。