多元样条空间奇异性剖分结构的研究

Splines are very important methods in numerical approximation, computational geometry and engineering calculation etc. Compared with the univariate spline theories, there are many essential difficulties in multivariate spline theories. When the degree is close to the smoothness order of the splines, there will be some singularities arising in the dimensions of the spline spaces. This is one of the differences in nature between multivariate spline and univariate spline, and it is also a limitation for applications of splines. In previous studies, the dimensions of spline space over Morgan-Scott triangulation and T-mesh with T-cycle are unstable. Since the triangulation and T-meshes are widely used in practic, the study of these spline spaces will be of great importance in theoretical and applications. In this project, we propose the viewpoint of that the singularity of spline space is caused by the special structures in the partition. On the one hand, we will discuss the essential geometric characteristic of T-cycle in order to obtain the partition structure leading to singularities of the dimensions. On the other hand, we will construct spline basis functions based on the special partitions which keep the stabilities of the dimensions and develop a new spline method suited for data processing and engineering application.

样条函数在数值逼近、计算几何和工程计算等领域有着广泛的应用。目前，一元样条的理论较为完善，而多元样条理论和应用中仍存在许多亟需解决的问题。当次数与光滑度接近时，样条空间维数会出现奇异性，这是多元样条与一元样条本质差别之一，其在一定程度上制约了多元样条的应用。已有研究表明，Morgan-Scott三角剖分和带Ｔ圈的Ｔ网格上样条空间维数是奇异的，而三角剖分与Ｔ网格恰好是最常用的两类剖分，因此，对这些样条空间的研究具有重要的理论和应用价值。本项目，我们提出剖分中存在某些特殊结构导致样条空间维数出现奇异性这一观点。基于此，我们一方面将深入开展样条空间奇异性剖分结构的研究，讨论Ｔ圈在几何上的本质特征，提炼出导致样条空间维数不稳定的剖分结构；另一方面将研究保持样条空间维数稳定的网格剖分，构造出此剖分上的性质好的样条基函数，形成一类适合于数据处理和工程应用的多元样条新方法。

样条函数是分段或者分片光滑的多项式函数，其在计算机辅助几何设计、计算机图形学等领域有着广泛的应用。一元样条的理论研究较为完善，而多元样条在理论和应用中仍存在很多尚未解决的问题。多元样条与一元样条有这一些本质上的差别，例如，在次数与光滑度接近时，多元样条函数空间的维数会出现奇异性，在一定程度上制约了多元样条的应用。在实际应用中，三角剖分与Ｔ网格是两类常用的剖分，已有研究表明，Morgan-Scott三角剖分和带Ｔ圈的Ｔ网格上样条空间维数是奇异的，因此，对这些样条空间的研究具有重要的理论和应用价值。本项目的研究中，一方面深入开展样条空间奇异性剖分结构的研究，主要研究了T网格上样条空间维数的不稳定性问题, 尤其是一种容易导致维数不稳定的特殊结构–嵌套T圈。给出了带有2-嵌套和3-嵌套T圈的T网格上的样条空间维数奇异性例子。发现维数的奇异性和T网格结构退化与每层T圈的奇异因子值有关。通过对T网格进行约束限制,给出了带有N-嵌套T圈的T网格上的稳定的维数公式；另一方面，开展样条函数在计算机辅助几何设计与曲线曲面造型中的相关研究，提出了基于主导点选取和正则渐进迭代逼近的自适应B样条曲线拟合算法以及正则二元B样条曲面最小二乘拟合的迭代渐进逼近方法，将一元PIA方法的全正基性质扩展到了线性相关的二元非张量积型B样条基函数。通过toric退化理论，定义了一类非均匀有理B样条曲面的控制结构-正则控制曲面，证明其恰好是该NURBS曲面当所有权因子趋于无穷时的极限位置，并在理论上给出了toric曲面的正则控制曲面个数的求解方法，发展了NURBS曲面权因子的几何意义。本项目组在国内外学术刊物上发表6篇论文，包括5篇SCI收录的论文。组织召开1次国内学术研讨会议，参加6次国内国际学术会议，与国内外学者开展交流合作。培养2名硕士研究生毕业，协助培养3名博士研究生毕业。