适定的多元样条逼近方法研究

Splines are very important methods in numerical approximation，computational geometry and numerical solutions for differential equations etc. The multivariate splines defined on general partitions are efficient for applications. Compared with the univariate spline theories, there are many essential difficulties in multivariate spline theories. When the degree is close to the smoothness order of the splines, there will be some singularities arising in the dimensions of the spline spaces and cause heavy ill-posedness. This is a big challenge in multivariate splines, and it is also a limitation for applications of splines. In our researches, we find the singularities of the dimensions can be removed by adding some degrees of vertices in the partitions. Then the dimensions are stable and some dimension formulas can be obtained. In this project, we focus on the researches on well-posed approximation methods by multivariate splines. On the one hand, we will study the stabilities of the dimensions of the spline spaces and construct the partition algorithms for keeping the stabilities of the dimensions and spline bases, so as to develop the spline approximation schemes for scatted data. On the other hand, we will adopt the regularization methods to solve the ill-posed problems due to the singularities of the spline spaces, by using some appropriate penalty terms and constrained optimization methods.

样条方法在数值逼近，计算几何，微分方程数值解等领域有着重要的应用，然而，与相对完善的一元样条理论相比，对一般剖分上的多元样条，许多基本问题的研究都存在本质性的困难。当样条空间的次数与光滑度接近时，空间的维数会出现奇异性，导致样条逼近方法的严重不适定性，这是多元样条理论中一个非常有挑战性的问题，同时也限制了多元样条方法的应用。我们前期的研究发现，适当增加剖分网点的度数，可以消除样条空间的维数奇异性。在本项目中，我们将利用正则化方法研究一般剖分上的适定的多元样条逼近方法。一方面，我们将深入开展样条空间维数稳定性的研究，讨论保持样条空间维数稳定的剖分算法，以根据数据点构造自适应的网格剖分和基函数，形成适合于散乱数据拟合的多元样条逼近方法。另一方面，针对由于样条逼近方法出现的不适定性，我们将结合正则化方法，根据逼近问题选择适当的正则项（罚项）和约束优化算法，构造数值稳定的多元样条逼近算法。

样条方法在数值逼近，计算几何，微分方程数值解等领域有着重要的应用，然而，与相对完善的一元样条理论相比，对一般剖分上的多元样条，许多基本问题的研究都存在本质性的困难。当样条空间的次数与光滑度接近时，空间的维数会出现奇异性，导致样条逼近方法的严重不适定性，这是多元样条理论中一个非常有挑战性的问题，同时也限制了多元样条方法的应用。本项目围绕“适定的多元样条逼近方法”开展研究工作。在样条空间的维数及稳定性，适定的插值基函数，与正则化方法结合的适定样条逼近方法，及其在计算几何、微分方程数值解中的应用等进行了系统的研究工作，获得了一系列的研究成果。主要研究内容包括：对T网格和一般三角网格上的几类样条空间的维数稳定性进行了深入的分析；构造了四边形上适定的三次样条Hermite插值基函数并应用于有限元计算；结合L1正则化方法提出了基于多层B样条空间稀疏逼近的MLASSO模型，并讨论了多个正则化参数的选取问题；将适定的样条逼近方法应用于微分系统的曲线曲面拟合重构算法等。上述研究成果既包含了多元样条方法的理论研究，也发展了相应的适定样条逼近算法，并成功应用于有限元计算，计算几何、微分方程数值解等，获得了很好效果，达到了预期的研究目标。项目执行期间，在《SCIENCE CHINA Mathematics》，《Journal of Computational and Applied Mathematics》，《中国科学：数学》等高水平期刊共发表论文15篇，其中SCI检索10篇，EI检索7篇。培养已毕业3个博士研究生，7个硕士研究生。