校准理论中若干问题的研究

The study of minimal submanifolds is a core subject in differential geometry that focuses on the geometry about critical points of volume functional, while one main concern in the geometric measure theory is exactly the phenomena involving singularities in the course of volume variations. The theory of calibrations forms a natural bridge between these two fields and it proves itself important in the research on homologically minimizing submanifolds, currents and foliations. In fact it has been essentially employed in answering the celebrated Bernstein problem, for instance, for the minimizing property of minimal graphs (of codimension one and consequently their tangent cones at infinity) and for confirming Simons cones minimizing by Bombieri, de Giorgi and Guisti [10]. Although the problem fortunately has been completely solved, however several related key questions still stand open, such as the uniqueness question on the tangent cone at infinity, the classification of such minimizing cones and etc. Our project here aims on one hand to provide preparations for attacking these questions and on the other hand to answer questions by Lawson and Morgan based on the applicant’s Ph. D. thesis and consequences thereafter [48, 50-52]. To be more precise, we will make use of the theory of calibrations to study the variety of minimizing cones, the realization problem of minimizing cones, distribution problems of minimizing currents and so on.

极小子流形是微分几何的重要课题，是体积变分临界点的几何；而几何测度论的一个研究重心正是变分时的奇点情形。校准理论是二者间的天然桥梁，是研究同调最小子流形、current 及 foliation 的重要手段。例如：在著名的 Bernstein 问题的研究过程中，无论是极小超图的最小性（从而得到无穷远处切锥的最小性）还是 Bombieri，de Giorgi 和 Guisti ［10］证明 Simons 锥的最小性都借助了校准理论。虽然该问题幸运地得到了解决，但涉及的诸多关键问题依然无法得到回答，如：无穷远处切锥是否唯一，此类最小锥的分类等。本项目一方面是为研究这些问题作铺垫，一方面是在申请人博士论文及后续研究 ［48，50-52］的基础上回答 Lawson，Morgan 等专家关心的问题。具体地，我们将通过校准理论研究最小锥的多样性，最小锥实现问题及最小 current 分布问题等。

1.几何测度论中的一个重要结论是：最小current在奇点处的任何切锥（如存在）也是最小的。那么自然的反问题：最小锥是否可以实现为某一个紧致最小current奇点处的切锥呢？本项目不同于N. Smale在Invent. Math. 135 (1999)中的方法，独特创新地通过校准理论给出了该实现问题构造的新思路，为彻底解决所有最小超锥的实现提供了崭新途径。..2.校准理论是与最小子流形的对偶理论。广义最小子流形与广义校准的对偶性是领域内熟知的。当最小子流形光滑时，是否有光滑校准与之对应呢？这是一个非常有趣的基本问题。本项目研究了这个问题，在国际上率先发现了：一般而言，无法保证存在光滑校准与给定的光滑最小超曲面对应。该成果在量子计算方向有潜在应用，被数学界最高奖 Fields 奖得主M. Freedman以及物理学家M. Headrick在Commun. Math. Phys. (2017) 的合作文章《Bit threads and holographic entanglement》引用并提出关注的后续问题。..3.极小曲面Dirichlet问题可以追溯到十八世纪的拉格朗日，是微分几何领域的重要课题之一。1977年Lawson-Osserman在高余维极小曲面Dirichlet问题上得到了突破性工作。本项目本质系统推进了相关研究，取得了国际上40年来该方向的重要突破。发表在J.M.P.A.的文章系统地找到了不可数无穷多的边界条件，它们都支持无穷多个光滑解并且还支持（至少）一个非光滑解。这里的突破了Lawson-Osserman发现的解的有限多不唯一现象。Adv. Math.的文章肯定回答了空白长达40年的领域内难题 —— 最初的Lawson-Osserman第二、第三锥也是最小的；实际上，该文证明了所有（n,p,2）型Lawson-Osserman锥都是最小的。..4.第3部分得到的最小锥均同胚于欧氏空间。为了探索拓扑非平凡的最小锥，本项目合作引入了minimal product，然后证明了：球面等参foliation的等参焦流形和等参极小超曲面之间的minimal product可以张成无穷多具有高度拓扑度的最小锥。..第3、4部分的最小锥均可通过1中方法被实现。本项目已在相关领域多个方向形成了有机的系列突破性成果，为下一步研究打开了新局面、奠定了坚实基础。