关于纤维化的局部与整体不变量

纤维化是代数簇分类及模空间中的核心问题。纤维化不变量是反映代数簇性质的重要指标。曲面纤维化情形， 计算曲面的不变量等价于计算相对不变量， 而相对不变量可以分解为模不变量（一种整体不变量）和奇异纤维陈省身数（一种局部不变量）， 关于这些局部与整体不变量，已有很多经典结果，也有许多未解决的问题。高维纤维化情形， 关于整体不变量的结果还很少， 仍有许多问题待解决。 本项目主要研究以下几个问题: 1.在已有的研究基础上，寻找奇异纤维陈数的新不等式；2. 计算模不变量delta_i，尝试先在小亏格情形验证一个猜测的计算公式；3.分类有理直线上具有极小个数奇异纤维的非常模亏格2纤维化；进一步， 我们试图构造g=3,4时恰有4条奇异雅克比纤维的纤维化（即加强的Arakelov不等等号成立情形）；4. 在已有的工作基础上，进一步验证高维情形Arakelov不等式和典范类不等式是严格的。

纤维化研究是代数簇分类和模空间理论中的核心问题。纤维化不变量是反映了代数簇性质的重要指标。对曲面纤维化来说，曲面的整体不变量计算可以归结为相对不变量计算。后者又能分解为模不变量和局部不变量（奇异纤维陈数）。我们的项目课题就是要研究这些不变量之间的关系。.在该项基金的支持下，我们做了如下工作：.(1).我们得到了关于整体不变量$h^{1,1}$ 的一个新的不等式。这是与谈胜利、左康和于飞的合作工作，已正式发表于Math.Z.。 它可以重新导出强Arakelov不等式，并能刻画等号成立时的代数几何条件。这个不等式也能用来分类$h^{1,1}$ 较小时的代数曲面。.(2). 我们得到了奇异纤维陈数的一系列不等式。这方面的主要结果（与谈胜利合作）已正式发表于Trans. AMS. 另外，我们利用关于常模Belyi纤维化的新结果，证明了周期奇异纤维陈数的肖刚型不等式（与龚成、谈胜利合作）。.(3). 我与谈胜利关于三次覆盖奇点的合作工作也已正式发表于MAA期刊。我们利用纤维闭链和基本闭链的技术完整地解决了三次覆盖奇点的分类问题，成功处理了典范解消中的(-1)曲线个数计算问题等等。利用这些结果，我们可以有效地计算亏格3非超椭圆纤维化的模不变量。这一工作可以看成肖刚关于二次覆盖和超椭圆纤维化的工作的推广。.(4).我和龚成、谈胜利合作研究了仅含两条奇异纤维的Belyi型纤维化。我们首先计算了这类纤维化的整体不变量，估计了K_f^2的最佳上界，精确刻画了奇异纤维的结构。这部分工作已投稿于Osaka期刊，已获了审稿人正面回复。其次是精确计算了这类纤维化的Mordell-Weil群，刻画了奇异纤维与其直纹面纤维的关系。.(5). 我们在高维纤维化情形（和谈胜利、左康合作），利用关于Higgs丛的辛普森理论给出一般情形的Viehweg-Zuo不等式，并给出不等式中的一个关键系数的有效估计。这个不等式可以看成曲面情形Arakelov不等式的推广。