几类分数阶非线性发展方程的高效算法及其在流体力学中的应用

Since the twentieth century，fractional differential equations have been used in numerical simulation of many application problems due to its global and memory properties，such as Fluid mechanics、Mechanics of Materials、Plasma Physics, etc. And the development of application of fractional calculus has made the solution of fractional differential equations an emergent task to solve. In recent years，there are already a lot of research works for spectral method of fractional differential equations. But the research for spectral method of fractional nonlinear evolution equations is still in its infancy. This project aims to study a few kinds of fractional nonlinear evolution equations,which have extensive application in the field of physics and mechanics ,based on the theory of fractional calculus and numerical analysis . Explore and put forward several effective spectrum methods; and analyze stability and convergence. Prove our theoretical results using numerical experiments. Establish proper nonlinear fractional development model for complex fluid phenomenon of anomalous transport ，and develop efficient spectral algorithm to simulate the fluid flow in the actual problem. The research of this project will improve computational efficiency of fractional nonlinear model, form a general framework of numerical analysis for spectral method of fractional nonlinear evolution equations, and provide a new method for the further study of turbulence problems.

二十世纪至今，分数阶微分方程以其带有全局性和记忆性特征而被应用于流体力学、材料力学、等离子体物理等许多应用问题的数值模拟中，这使得分数阶微分方程的求解成为紧迫而重要的研究课题。 近年来，关于分数阶微分方程高效谱方法的研究已有一些结果，但分数阶非线性发展方程的高效谱方法研究尚处于起步阶段。本项目旨在以分数阶微积分及数值分析理论为基础，针对几类在物理和力学领域有着广泛应用的分数阶非线性发展方程进行研究，探索并提出该类方程的几种高效的谱方法，分析稳定性及收敛性，进行大量的数值实验以验证我们的理论结果；针对复杂流体反常输运现象建立合适的非线性分数阶发展模型并发展高效谱算法模拟实际问题中的流体流动，结合数值模拟探讨模型参数对流体流动的影响; 通过本项目的研究提高分数阶非线性模型的计算效率；形成分数阶非线性发展方程谱方法数值分析的一般性框架；为湍流等问题的深入研究提供一种新的手段。

本项目以分数阶微积分及数值分析理论为基础，针对几类在物理和力学领域有着广泛应用的分数阶非线性发展方程进行研究，探索并提出该类方程的几种高效的谱方法，分析了稳定性及收敛性；针对复杂流体反常输运现象建立合适的非线性分数阶发展模型并发展高效谱算法模拟实际问题中的流体流动，结合数值模拟探讨模型参数对流体流动的影响；通过本项目的研究提高了分数阶非线性模型的计算效率；形成了分数阶非线性发展方程谱方法数值分析的一般性框架；为湍流等问题的深入研究提供一种新的手段。本项目共发表SCI论文23篇，团队成员获山东省优秀博士论文1项，负责人2019获得万人计划领军人才称号，申请到国家自然科学基金委国际合作重点项目1项。资助项目组4人参加2018年第十届全国流体力学学术会议，资助2人参加2019年中国力学大会，资助2人参加2019年第三届分数阶导数问题的数值方法研讨会，资助4人参加2020年中国工业与应用数学学会第18届年会，资助2人参加2020年第十一届全国流体力学会议。