高振荡积分问题的易处理性研究

In recent years the theory of information-based complexity is extensively studied in the area of approximation theory. In particular, tractability of multivariate problems has attracted much attention. Similarly, the computation for highly oscillatory problems is an extremely important research topic and acknowledged internationally as a difficult and hot point in scientific computing. Many problems in mathematical physics can be converted into some research on numerical problems and related properties of highly oscillatory differentiations and integrals. This project is intended to introduce information-based complexity into the research of highly oscillatory integration. It is mainly devoted to exploring tractability problems of multivariate highly oscillatory integrals on the d-dimensional unit cube in the worst, average and randomized case settings. The associated function classes mainly include the infinitely differentiable function space, Lipschitz class, weighted Korobov and Sobolev classes. Such problems have great academic value and large application background and also are at the cross of many fields. Related research results will strongly support relevant numerical integration methods theoretically, assess their performances and also provide a very good reference for many areas such as spectral theory, data and signal processing, integral equations, electromagnetics and acoustic scattering simulations.

信息基复杂性理论是近年来逼近论研究的热点之一，特别是多变量问题易处理性研究吸引了广泛的关注。而高振荡问题的计算是科学计算领域非常重要、被公认为难的国际热点研究课题，数学物理中的许多问题都可以归结为研究高振荡微分、积分数值解及相关性质。本项目拟将信息基复杂性理论引入到高振荡数值积分的研究中，主要探索多维单位方体上一些重要函数类的高振荡积分在一致、平均和随机等框架下的易处理性等问题。其中考虑的函数类包括无穷可微函数类，Lipschitz 类，加权Korobov类和加权Sobolev类等。此类研究问题具有深刻的理论意义和重要的应用背景，属于多个数学分支的交叉领域研究。相关研究结果将为相关的数值积分方法提供有力的理论支持和性能评价，并在谱理论，数据与信号处理，积分方程，电磁，声波散射等领域发挥重要作用。

信息基复杂性理论是近年来逼近论研究的热点，特别是多元连续问题的易处理性研究已成为其中最热门的课题。而高振荡问题的计算是科学计算领域非常重要、被公认为难的国际热点研究课题。本项目将信息基复杂性理论引入到高振荡数值积分的研究中，主要探索了Sobolev函数类和连续可微函数类的高振荡积分在一致框架下的最优误差估计、信息复杂性、易处理性和等距采样最优性等问题。主要工作如下：①在一致框架下，标准Sobolev函数类H^s和连续可微函数类C^s的振荡积分问题方面，我们基于Poisson求和公式，完成了具有紧支集的函数积分问题最优算法误差的紧的上下界估计，利用特殊的光滑单位分解技巧，进一步获得了实数线上函数的加权振荡积分问题最优误差和信息复杂度渐近阶的精确估计，以及在绝对和规一化误差规则下信息复杂度对振荡频率的不同依赖性。对于多维情况，我们从再生核的途径，给出了经典积分问题的相关易处理性结果。②研究了Sobolev空间H^1([0,1])中的一般加权积分问题，得出了任意节点采样下最优求积的误差公式。特别针对Fourier系数计算情况（带振荡权exp(-2πikx)积分，k还可扩展为一般实数），确定了采样数达到振荡频率|k|的2.7倍时，等距就成为最优采样的结论，给出了低采样量情况的数值实验反例。分别在采样数和振荡频率的无穷极限方向上，得到了最优逼近误差的渐近等价常数精确值（等距采样、最优采样情况都分别成立）。③在拟Banach空间范畴内, 我们研究了几个重要函数类（R^d上的加权Besov型和Triebel-Lizorkin型函数空间，2-微局部Besov空间，拟有界多维区域上的经典函数空间）的逼近特征，在使用离散化方法和算子理想的基础上，开发了新的高维分块技巧，得到了相关紧嵌入的四种s-数(逼近数，Gelfand数, Kolmogorov数和Weyl数)的渐近精确阶估计结果。以上研究结果将为相关的数值积分与逼近方法提供重要的理论支持和精细的性能评价。