二维高频声散射问题中奇异高振荡积分方程的数值算法研究

High-frequency acoustic scattering problems occur in a wide range of applications. In general, the problem cannot be done analytically and one has to resort to numerical methods. The boundary integral equation method is one of main methods for solving this kind of problems. Although, many experts have done a lot of research in this field, it is mainly aimed at low-frequency scattering problems. In the case of high-frequency scattering, there are some research results, however there are many of problems which have not been solved well, such as the problem of solving highly oscillatory integral equations, the problem of calculating involved highly oscillatory integrals. This project will aim at numerical methods for highly oscillatory integral equations which arise from 2D high-frequency acoustic scattering problems. Firstly, based on the theoretical results of the solution of the high- frequency acoustic scattering problem, we construct appropriate approximation spaces and meshes. we discretize the integral equation by using numerical asymptotic boundary integral methods and boundary element methods. Secondly, combined with the properties of the kernel and unknown function of integral equation, we study the calculation method for the involved singular highly oscillatory integrals by utilizing the theory of highly oscillatory integrals, singular integrals. Finally, based on the theory of numerical solution of integral equation, a numerical method for solving the integral equation is proposed, and the convergence and the error analysis of the algorithm are analyzed. Also, the efficiency of the algorithm is considered.

高频声散射问题在许多工程领域具有广泛的应用。然而在许多情况下，该类问题的解析解难以得到，需要通过数值方法求解。边界积分方程方法是求解这类问题的主要方法之一，国内外许多专家在这一领域已经做了大量的研究，但很多都是针对低频散射问题。关于高频的情形，近期从积分方程的角度提出了一些新的数值方法，但其中尚有许多问题并未得到很好的解决，如相关的高振荡积分方程求解及积分计算问题。本项目旨在研究二维高频声散射问题中高振荡积分方程的数值解法。首先利用近期关于高频声散射问题解的理论研究成果，构造合适的逼近空间和网格，利用数值渐近边界积分方法和边界元的思想离散积分方程。其次，结合积分方程中核函数和未知函数的性态，借助高振荡积分、奇异积分等相关理论研究其中所涉及的奇异高振荡积分的计算方法。最后，结合积分方程数值解的理论，提出求解该类积分方程的数值方法，对算法的收敛性和误差进行分析，并考虑算法的运行效率。

高频声散射问题在许多工程领域具有广泛的应用，且是具有很强物理意义和实际背景的问题。边界积分方程方法是求解这类问题的主要方法之一。若散射体较复杂，则边界积分方程的解析解很难求得。因此在许多情况下，该类问题需要通过数值方法求解。对于数值方法的设计来说，解的性态至关重要。为此本项目首先从物理学中有关的绕射、衍射理论和积分方程解的数学理论出发，分析高频声散射问题解的性态，为设计实用的算法提供理论依据和思想方法。虽然边界元和快速多极方法是一个当下流行且非常高效的求解这类积分方程的数值方法，但这两者多数情况下都是针对低频问题的。对于高频声散射问题中的积分方程，由于核函数是高振荡和奇异的，离散积分方程时，会产生奇异高振荡积分的计算问题。为此，在已有的研究基础上，进一步梳理了积分方程中核函数（如Hankel函数和Bessel函数）的特性，获得对积分方程求解有价值的性质。其次，研究了核函数多极展开后，所涉及的被积函数的性质，尤其是采用混合渐近方法近似方程解时，离散积分方程后高振荡函数的性质。利用逼近论及数值分析的相关理论更深层次的分析了现有的网格设计和高振荡积分方法求解该问题的不足。结合振荡积分的计算方法，研究了影响高频声散射问题中高振荡积分计算的关键点，获得了几种特殊情形下的高振荡积分计算方法，并用于最后的积分方程求解中。最后，考虑将边界元、快速多极方法和高振荡积分方法相结合提出一种求解声散射问题中奇异高振荡积分方程的数值方法。该方法先应用边界元方法离散积分方程，再对核函数进行多极展开，用快速多极方法的思想进行加速求解。再对所涉及的高振荡积分结合核函数的性质和Clenshaw-Curtis-Filon方法进行高效计算。数值算例显示方法是有效的，而且这类方法还可以用来求解决许多与物理、工程问题相联系的奇异高振荡边界积分方程和Volterra型积分方程，研究成果具有一定的理论和应用价值。另一方面，在用快速多极方法加速求解积分方程时，需要用到GMRES迭代方法，为此项目组针对GMRES方法进行了相关的研究，提出了基于残量的简单块GMRES方法，且证明了该方法与块GMRES、简单块GMRES方法是等价的。理论分析表明该方法比简单块GMRES方法更加稳定，数值实验也验证了这一点。