高斯与泊松白噪声激励下时滞反馈控制拟可积哈密顿系统动力学研究

Up to now, the existing results on stochastic systems with time-delayed feedback control are mainly conducted for continuous stochastic excitations, while there’re few results obtained for combination of the continuous random processes and random pulses. Thus, this research project aims to investigate the dynamics of quasi-integrable Hamiltonian systems with time-delayed feedback control under combined Gaussian and Poisson white noise excitations. Due to the existence of the Poisson white noise, the existing theory for the quasi-integrable Hamiltonian system with time-delayed feedback control under continuous stochastic excitations is not applicable. In the present project, the stochastic averaging method for the quasi-integrable Hamiltonian system with time-delayed feedback control under combined Gaussian and Poisson white noise excitations is developed. The averaged stochastic integro-differential equation, averaged forward and backward Kolmogorov equations are derived by using the present method. The averaged forward and backward Kolmogorov equations can be solved with some initial and boundary conditions to investigate the effect of the time-delayed feedback control on the system response and reliability. With the help of the averaged stochastic integro-differential equation, the influence of time-delayed feedback control on the stability of system is analyzed through Lyapunov function and largest Lyapunov exponent. Besides, the numerical simulations are employed to verify the validity and effectiveness of proposed method. The fulfillment of this project can enrich the research achievements of the stochastic systems with time-delayed feedback control and provide some theoretical methods for the problems in engineering and science field.

目前，有关随机激励下时滞反馈系统的研究中，所考虑的随机扰动大多为连续型随机激励，而对于现实中存在的连续与跳跃型随机激励情形的研究还很匮乏。本项目拟研究高斯与泊松白噪声共同激励下含有时滞反馈控制的拟可积哈密顿系统的动力学问题。由于泊松白噪声的存在，已有的理论方法不再适用。本项目以高斯与泊松白噪声共同激励下具有时滞反馈控制拟可积哈密顿系统为研究对象，提出相应随机平均法，导出平均随机微分积分方程以及平均前向与后向Kolmogorov方程。通过求解上述方程讨论时滞反馈控制对原始系统响应及可靠性的影响。在平均随机微分积分方程的基础上，利用Lyapunov函数与最大Lyapunov指数分析时滞反馈控制对原始系统稳定性的影响。并借助数值模拟验证上述理论方法的有效性。本项目的进行将进一步丰富随机激励下含有时滞反馈控制系统的研究成果，为工程与科学领域相关问题的解决提供理论分析方法。

时滞因素广泛存在于自然界及工程中，目前有关随机激励下含时滞影响系统的研究中，所考虑的随机扰动大多为连续型随机激励，而对于现实中存在的连续与跳跃型随机激励情形的研究还很匮乏。本项目主要针对高斯与泊松白噪声共同激励下含时滞的非线性系统，发展相应的理论分析方法，研究了时滞对系统动力学的影响，包括响应预测、随机稳定性分析与可靠性估计。开展了如下工作：（1）研究了高斯与泊松白噪声激励下含时滞反馈控制拟可积哈密顿系统的动力学特性。在时滞系统解特性及随机平均法的基础上，提出了此类系统的理论分析方法，得到相应的平均随机微分积分方程及平均广义Fokker-Planck-Kolmogorov（FPK）方程，研究了此类系统的随机响应及随机稳定性，分析了时滞及噪声对系统响应及稳定性的影响。进而，研究了泊松白噪声激励下的含时滞生态系统以及高斯白噪声激励下含分数阶时滞影响的经济周期模型动力学特性，分析了时滞对系统的影响。（2）研究了高斯白噪声及泊松白噪声激励下几类典型非线性系统的随机响应、稳定性、可靠性及随机共振问题。针对高斯与泊松白噪声激励下的拟部分可积共振哈密顿系统，提出相应的随机平均法，研究了系统随机响应及随机分岔现象；针对泊松白噪声激励下的双稳态系统，基于Dynkin公式和Markov过程的性质，提出其平均首次逃逸时间分布的理论求解方法，并研究了泊松噪声对系统首次逃逸时间的影响；针对高斯白噪声及泊松白噪声影响的变质量系统，研究了其随机响应及稳定性问题；针对泊松白噪声激励下碰撞振动系统和含分数阶阻尼的单自由度非线性系统，分别提出相应的随机平均法，进而研究其动力学特性；针对泊松白噪声激励下的耦合双势阱系统，借助系统驻留时间分布的统计复杂测度和标准香农熵，研究了此类系统的随机共振现象。此外，还针对噪声激励下的非光滑系统及含分数阶系统，发展了相应的广义胞映射方法，借此研究了其随机响应、随机分岔等动力学特性。