遍历哈密顿系统的谱理论

本项目主要研究两个遍历（ergodic）类：具有随机位势的哈密顿系统（random Hamiltonians） 和拟周期薛定谔算子（quasiperiodic Schr?dinger operators）。对于随机哈密顿量，如薛定谔算子,散度型微分算子和Maxwell算子等，通过使用多尺度分析（multiscale analysis）,重整化群（renormalization group）方法和分数矩量分析（fractional moment analysis）研究稠密纯点谱和连续谱的存在性；特征函数的性质；动力局域化。对于具有非线性项的随机薛定谔方程，研究随机位势和非线性项对初始局域态的波包（localized wave packet）长时间演化的影响。对于拟周期薛定谔算子,使用KAM方法和Kotani理论等，研究纯点谱的存在性及相应的特征函数的性质。

本项目主要研究两个遍历（ergodic）类：具有随机位势的哈密顿系统（random Hamiltonians）和拟周期薛定谔算子（quasiperiodic Schrodinger operators）。遍历哈密顿系统不仅在数学领域，而且在物理领域都是研究的热点。对于随机哈密顿量，如薛定谔算子,散度型微分算子和Maxwell 算子等，通过使用多尺度分析（multiscale analysis）,重整化群（renormalization group）方法和分数矩量分析（fractional moment analysis）研究稠密纯点谱和连续谱的存在性；特征函数的性质；动力局域化。对于具有非线性项的随机薛定谔方程，研究随机位势和非线性项对初始局域态的波包（localized wave packet）长时间演化的影响。对于拟周期薛定谔算子,使用KAM 方法和Kotani 理论等，研究纯点谱的存在性及相应的特征函数的性质。. 我们首先研究了光在随机扰动下的周期介质中的传播。我们使用Birman-Solomyak公式.和谱平均估计克服无穷秩扰动的困难。然后使用e Helffer-Sjöstrand公式处理连续函数.算子谱演算。最后，我们得到了相干估计。基于点过程理论，我们证明尺度化后的特征值在热动力学极限意义下，服从Poisson点过程。对于具有随机系数的一维的Klein-Gordon方程，.我们证明了长时间的Anderson局域化。我们研究了随机薛定谔算子的态密度。我们证明了谱移函数的Cesàro平均逐点收敛于态密度函数；另外，谱移函数几乎处处收敛于态密度函数。. 最后，在很一般的条件下，薛定谔算子的态密度函数是log-Holder连续的。