扭曲网格上具有强各向异性系数扩散方程保极值原理的有限元方法研究

Diffusion equations with strong anisotropy appear in many applications, such as magnetic confined fusion, geology and astrophysics. It is very important for the diffusion schemes to satisfy the discrete maximum principle, which is not achieved by many diffusion schemes on distorted meshes. The algorithms without satisfying the discrete maximum principle can lead to the violation of the entropy constraints of the second law of thermodynamics, causing heat to from regions of lower temperature to higher temperature. In the regions of large temperature variations, this will cause the temperature to become negative. So, it is very important in scientific applications to construct algorithms satisfying the discrete maximum principle for the diffusion equations with strong anisotropy on distorted meshes, which is also a big challenge. Based on the finite element method, we are going to investigate the following problems: 1. For the case of strong anisotropy, we will use the M-matrix theory to analyse the relatted algebraic system to construct efficient algorithms on the distorted meshes. The algorithms will achieve ideal accuracy and satisfy the discrete maximum principle; 2. Taking advantage of the finite element local repair technique, we will investigate the finite element posteriori correction techniques for diffusion equations with strong anisotropy on distorted meshes.

具有强各向异性系数的扩散方程在许多领域，如：磁约束聚变、地质学和天体物理等有着广泛的应用。保极值原理是对扩散方程离散格式的重要要求，也是目前常用的扭曲网格上扩散方程离散格式难以满足的一个性质。一个不保极值原理的算法往往破坏热力学第二定律，引起热能从低温流向高温，在温度变化剧烈的区域将导致非物理振荡。因此，在扭曲网格上对具有强各向异性系数的扩散方程构造保极值原理的高效算法具有重要的实用价值，同时也是一个极具挑战性的课题。本项目拟基于有限元方法对设定课题展开研究，具体研究内容包括：1. 在扭曲网格上，针对强各向异性系数情形，利用M-矩阵理论深入分析相应代数系统的性质，构造出具有理想计算精度，且满足离散极值原理的高效算法；2. 结合已有的有限元局部修补技术，进一步研究扭曲网格上适用于强各向异性系数情形的有限元后处理技术。

具有强各向异性系数的扩散方程在许多领域都有重要应用，如：磁约束聚变、地质学和天体物理等领域。保极值原理是对扩散方程离散格式的重要要求，也是目前常用的扭曲网格上扩散方程离散格式难以满足的一个性质。一个不保极值原理的算法往往破坏热力学第二定律，在温度变化剧烈的区域将导致非物理振荡。因此，在扭曲网格上对具有强各向异性系数的扩散方程构造保极值原理的高效算法具有重要的实用价值，同时也是一个极具挑战性的课题。本项目基于有限元方法对设定课题展开研究，主要研究成果包括：1.在扭曲网格上，针对强各向异性系数情形，将区域分解技术结合受限有限元方法，构造出了一种具有理想计算精度，且满足离散极值原理的高效算法；2.利用已有的有限元局部修补技术，进一步研究有限元后处理技术，提出了一种适用于强各向异性系数的全局修补技术，该技术不仅使得数值解满足离散的极值原理，而且大大节省了计算开销。