两类量子逻辑代数结构的研究

Quantum logics consider the propositional calculus corresponding to the quantum physical system events, and effect algebras and pseudo-effect algebras are the main mathematical models of quantum logics. Any lattice ordered effect algebra can be written as a set theoretical union of MV-algebras, however, how to paste a lattice ordered effect algebra with a given family of MV-algebras is still an open question. In this project, we will give the new techniques to paste a lattice ordered effect algebra with a family of MV-algebras. Especially, based on the relationship between the orthomodular lattices and lattice ordered effect algebras, we will suggest the way to obtain a lattice ordered effect algebra through an orthomodular lattice. Then, using the pasting techniques, we will characterize the internal algebraic constructions of lattice ordered effect algebras and construct some lattice ordered effect algebras admitting special state spaces. The n-perfect pseudo-effect algebra is one of the important classes of pseudo-effect algebras. Based on the properties of the infinitesimal elements and the discrete states of n-perfect pseudo-effect algebras, we will provide the sufficient and necessary conditions so that an n-perfect pseudo-effect algebra is isomorphic to an interval of the lexicographical product of the integers group and a partially ordered group. We will prove that the category of n-perfect pseudo-effect algebras and the category of partially ordered groups are categorical equivalence. These results will make the theoretical bases to further study the constructions of non-Archimedean pseudo-effect algebras, and at the same time, the results will establish the new connections between quantum logics and partially ordered groups.

量子逻辑考虑的是量子物理系统的事件对应的命题演算,效应代数及伪效应代数是目前量子逻辑研究的主要模型. 任何格效应代数可以表示成MV-代数的并, 但是如何由MV-代数粘合成格效应代数仍然是开问题. 本项目拟给出由一族MV-代数粘合成格效应代数的新方法，特别地利用正交模格与格效应代数的关系给出由正交模格得到格效应代数的方法. 作为对格效应代数粘合方法的应用, 拟对格效应代数的内部结构进行刻画，并构造出一些具有特殊态空间的格效应代数. n-完全伪效应代数是一类重要的伪效应代数，本项目拟利用n-完全伪效应代数中的无限小元及离散态的性质, 给出n-完全伪效应代数同构于整数群与偏序群的字典序乘积的一个区间的充分必要条件, 并建立n-完全伪效应代数与偏序群之间的范畴等价关系. 这将为进一步研究非阿基米德伪效应代数的结构奠定重要的理论基础,同时建立了量子逻辑与偏序群之间的新关系.

项目组对格效应代数及非阿基米德伪效应代数两类量子逻辑的代数结构进行了深入地研究.另外，项目组对量子逻辑上的量子测度理论，二型t-模及其剩余进行了研究. 所获主要结果有：1.格效应代数的粘合构造方法.给出了MV-代数Greechie图的定义,利用Greechie图得到了由MV-代数粘合成格效应代数的一组充分必要条件.通过MV-代数的Greechie图引入了格效应代数Greechie图的定义, 基于Greechie图这一工具和正交模格与格效应代数的关系给出了通过替换正交模格的原子得到一般格效应代数的方法,作为该方法的应用证明了格效应代数的环引理. 2.非阿基米德伪效应代数的结构.研究了量子逻辑上离散态的性质,利用非阿基米德伪效应代数中无限小元构成的理想及离散态的性质给出了n-完全与Q-完全伪效应代数的定义.证明了强Q-完全伪效应代数同构于有理数群与具有(RDP1)的偏序群字典序乘积的一个区间.证明了强Q-完全伪效应代数范畴与定向的具有 (RDP1)的无扭偏序群范畴是范畴等价的,进而建立了量子逻辑与偏序群之间的范畴关系. 3.量子逻辑上的量子测度.给出了有限布尔代数上的量子测度及超级量子测度空间的基，对布尔代数上量子测度及超级量子测度的结构给出了清晰地刻画.证明了布尔代数上的超级量子测度可唯一确定一个布尔代数直积上强对称的带号测度. 给出了具有(RDP)的有限效应代数上量子超级测度空间的一组基. 证明了效应代数张量积上的对称带号测度可唯一确定一个超级量子测度.反之，得到了超级量子测度可确定效应代数张量积上对称带号测度的充分必要条件. 4. 二型t-模及其剩余的代数性质.研究了二型模糊集上的逻辑算子t-模的代数性质.给出了由一些特殊的二型t-模生成的剩余算子表达式，并讨论了基于上述逻辑算子的推理合成规则.