非线性时间分数阶方程的长时间稳定的数值方法

The fractional-order differential equations are usually more accurate than traditional integer-order differential equations in the characterization of physical processes with genetic memory characteristics. In recent years, the mathematical modeling, theoretical analysis and numerical methods for fractional order equations have made important progress. A basic problem in the study of fractional order equations is the stability of the models and the efficient numerical methods to inherent the corresponding stability. But the current results are mainly focused on the linear systems. This project will study the long time stable numerical methods of nonlinear fractional order systems. There are two main aspects: (1) For the nonlinear fractional-order stiff initial value problems, we will establish the numerical stability based on the one-sided Lipschitz condition, provide the estimate of the long time algebraic decay rate of the numerical solutions, generalize the classical G-stability theory, and further study the long time stable numerical methods for nonlinear fractional-order stiff functional differential equations. (2) For a class of time fractional semi-linear anomalous diffusion models, using the finite element method in spatial discretization, we will derive the long time stability and decay rate estimates of the corresponding semi-discrete systems and construct efficient numerical methods to preserve the long time stability and algebraic decay rate. This project is aimed to develop efficient, theoretical supported and long time stable numerical methods for a large class of nonlinear fractional-order systems, which are applied to numerical simulation of practical problems.

分数阶微分方程在刻画具有遗传记忆特征的物理过程中通常比传统的整数阶微分方程更加准确。近年来，分数阶方程的模型建立、理论分析和数值方法研究都取得了重要进展。分数阶方程研究中的一个基本问题是模型稳定性及保持稳定性的数值方法，但目前的已有结果主要集中在线性系统。本项目将研究非线性分数阶系统的长时间稳定的数值方法。主要包括：(1) 对具有刚性特征的非线性分数阶初值问题，建立基于单边利普希茨条件下的数值稳定性，给出数值解的长时间代数衰减率估计，推广经典G-稳定性理论，进一步研究非线性分数阶泛函微分方程的长时间稳定的数值方法。(2) 对一类时间分数阶半线性反常扩散模型，采用有限元方法进行空间离散，建立相应的半离散系统的长时间稳定性和衰减率估计，构造保持长时间稳定性和衰减率的数值方法。本项目旨在对一大类分数阶非线性系统发展具有理论支撑的、长时间稳定的高效数值方法，并应用于实际问题的数值模拟。

时间分数阶方程对于某些具有遗传记忆特征的物理过程或者现象比标准的整数阶方程更具有优势。时间分数阶方程可以等价于具有若奇异核的Volterra方程，其解在初始时刻具有弱奇异性和长时间方向表现出代数衰减率，这两个特征和经典方程截然不同。本项目主要研究时间分数阶方程数值解的长时间定性性质。我们取得了以下主要结果：..(1)在和非线性函数满足单边Lipschitz条件下，我们建立了数值解的收缩性理论，并且刻画了代数收缩率；在非线性函数满足耗散性条件下，我们建立了数值解耗散性特征，并且刻画了代数耗散率。我们把进一步把该理论推广到时间分数阶泛函微分方程，建立了依赖于时间的分数阶Halanay不等式和时间分数阶泛函微分方程的收缩性和耗散性理论。.(2)对于卷积积分方程，我们从保结构算法的基本思想出发，提出了完全单调格式，并且证明了这种格式的许多优良性质。该格式为更加复杂的拟线性时间分数阶方程数值格式提供了基础。.(3)我们引入了生成函数的奇异性分析作为工具，并以此建立了时间分数阶方程数值解的Mittag-Leffler理论，即数值解在稳定区域内部，能够精确保持原来方程的最优长时间代数衰减率。我们进一步分析了时间分数阶延迟微分方程GL格式的数值稳定区域的精确边界，完整刻画了其稳定区域，并且也证明了数值解的Mittag-Leffler稳定性。..我们取得的这些结果，基本上实现了本项目原来的研究计划。为时间分数阶模型，如反常扩散方程的数值模拟提供了好的理论支持和格式构造。目前已经正式在SIAM J. Numer. Anal.等期刊发表学术论文十余篇。