(量子)cluster代数与quiver表示

Cluster algebras and quantum cluster algebras turned out to be related to various areas in mathematics,and especially their close links with quiver representations have recently become an international hot research field. In this project,we will use quiver representations to investigate the structures of acyclic cluster algebras and quantum cluster algebras,and the main contents are described as follows: based on the work of Ding-Xiao-Xu and Geiss-Leclerc-Schröer,we will construct the canonical bases of acyclic cluster algebras;for affine quantum cluster algebras,compute explicit expressions for the canonical triangular bases constructed by Berenstein-Zelevinsky;for acyclic quantum cluster algebras, we will study the generalized quantum cluster characters,establish the multiplication formulas of these quantum cluster algebras and construct quantum analogues of canonical bases for the corresponding cluster algebras.

Cluster 代数和量子cluster 代数与数学的很多分支有着密切的联系，特别与quiver表示的深刻联系已经成为国际上研究的一个热点领域。本项目利用quiver表示研究acyclic型cluster代数和量子cluster代数的结构，主要研究内容如下:在丁明-肖杰-徐帆和Geiss-Leclerc-Schröer的工作基础上，构造acyclic型cluster代数的典范基；对仿射型量子cluster代数，计算Berenstein-Zelevinsky构造典范三角基的精确表达式；对于acyclic型量子cluster代数，我们将研究更一般的量子cluster特征，建立这些量子cluster 代数的乘法公式并且构造其对应cluster代数典范基的量子形式。

Cluster 代数和量子cluster 代数与数学的很多分支有着密切的联系，如量子群和李理论、有限维代数的表示理论、组合数学等，特别地与quiver表示的深刻联系已经成为国际上研究的一个热点领域。本项目按照研究计划利用quiver表示研究acyclic型cluster代数和量子cluster代数的结构，特别是研究cluster代数、量子cluster代数的各种整基和量子cluster乘法公式，在以下三个方面得到了一系列研究成果：（1）我们利用Caldero-Chapoton 映射研究仿射型cluster代数的结构，证明了仿射型cluster代数的广义cluster变量的全正性，从而得到了三组全正的整基。（2）对于acyclic型量子cluster代数，我们研究更一般的量子Caldero-Chapoton特征，把量子 Caldero-Chapoton 映射定义到整个cluster 范畴上，并建立了这些量子cluster 代数的乘法公式，构造出仿射赋值型量子 cluster 代数的一个整基。（3）我们通过量子cluster代数的乘法公式直接得到了对偶的 Ringel-Hall 代数到 acyclic 型量子 cluster 代数的一个代数同态，并且探讨了它们之间的联系。