高维函数型数据的估计与推断方法研究

Functional data analysis (FDA) has gained increasing importance in this modern information age. The demand of modeling for high-dimensional functional data arises from various practical problems. When the dimension of functional data is large or merely moderately large, the statistical modeling becomes challenging as the traditional techniques suffer from the lack of identification, over-parameterization or so-called curse of dimensionality. The purpose of this project is to study several problems in high dimensional function data, including the conditional dependence problem of high dimensional function data, sparse estimation of functional covariance matrices for high dimension function data and factor modeling of high dimension function data. The project attempts to develop some new statistical tools and methods for dealing with high-dimensional function data, for better understanding the curse and bless of dimensionality.

近年来，函数型数据的统计方法和理论研究受到了国际统计界的广泛关注。其中，高维函数型数据的统计分析作为一个崭新的研究方向, 常规的建模方式就不适用了，其估计方法、理论工具以及具体实践和应用等问题都尚待研究。本项目旨在研究高维函数型数据中的几个前沿课题，包括高维函数型数据的相关结构估计问题、高维函数型数据的协方差函数矩阵的估计问题以及高维函数型数据的因子建模问题。本项目希望发展一些新的处理高维函数型数据的工具和方法，从广度和深度上推动高维数据处理工具的发展。

本项目旨在研究高维函数型数据中的几个前沿问题，发展一些新的处理高维数据的工具能够拓展到高维函数型数据上并加深对高维函数型数据的理解。具体地，与合作者一起给出了多个函数型数据之间的条件独立性关系的一种刻画，并给出一类正则估计方法进行估计；与合作者提出了一类新的函数型数据图模型来刻画高维函数型曲线之间的动态条件独立性结构的问题；与合作者一起给出了高维高斯过程的协方差函数在相依情形下的集中不等式（concentration inequalities）的精细刻画，得到了很多很有意义且基础性的结果，并与合作者针对此问题放松了高斯过程的假设，将其推广到了次高斯线性过程的情形，并证明了相应的结论依然成立。相关结果已被统计学权威期刊《Journal of American Statistical Association》、《Biometrika》、《Bernoulli》以及核心期刊《Electronic Journal of Statistics》接受发表。此外，与合作者针对在函数型线性回归中函数型协变量带有误差的情形下，提出了一类基于相依信息的新的估计框架；与合作者给出了一类新的空间高维自回归模型，并给出了一类基于Bagging方法抽样的新估计方法；与合作者针对双门限模型，给出了一类可估计的平稳检验的方法。相应结果分别已被计量经济学顶级期刊《Journal of Business and Economic Statistics》 以及《Journal of Econometrics》接受发表。