“补丁”马氏过程及其相关问题的研究

本项目研究"补丁"马氏过程的极限构造及其相关问题。与目前用游弋理论和泊松点过程构造"补丁"马氏过程不同的是该项目从极限的角度给出"补丁"马氏过程新的较直观的构造方法。由于新构造的"补丁"马氏过程的状态空间和测度都发生了变化，研究这类过程需要新的方法和技巧。从已有的文献资料可知， 目前这些方面的研究尚在起步阶段，研究结果比较少。本项目还进一步研究该过程的一些精细位势理论，给出"补丁"扩散过程和"补丁"对称跳过程的转移密度函数的上下界精确估计；研究"补丁"扩散过程和"补丁"对称跳过程的概率性质，并且建立抛物型 Harnack 不等式。这是一项具有重要理论意义和研究前景的课题，同时具有实际应用前景，此种构造给出了随机模拟"补丁"过程的一个具体方法。

在该项目中，我们主要研究了以下关于“补丁”马氏过程的内容。我们研究了一般状态空间上“补丁”马氏过程的极限构造。用 Mosco 收敛与半群收敛、有限维分布收敛的关系，证明了在原来的过程基础上引入 跳之后的过程依有限维分布收敛到“补丁”马氏过程。研究了当“缝补”区域是一个闭球时，一般状态空间上“补丁”布朗运动的热核估计。 主要应用狄氏型理论和布朗运动的旋转不变性质。用Krylov-Safonov 技巧，证明了“补丁”扩散过程和“补丁”对称跳过程对应的调和函数在新的状态空间上的H lder 连续性和抛物型Harnack 不等 式。 通过这些，给出了“补丁”扩散过程的转移密度 的H lder连续性；建立了“补丁”对称跳过程的抛物型 Harnack 不等式。 最后，我们给出了“补丁”跳过程的热核估计。