马氏过程相对熵的遍历性及其相关问题的研究

As an important concept of probability theory and information theory, relative entropy can be used to study the ergodicity of Markov processes. From the qualitative point of view, the Markov process is exponential convergence in entropy if and only if the entropy inequality (EI in short) holds, and the logarithmic Sobolev inequality (LSI in short) implies the exponential convergence in entropy. However, there are few research methods for the quantitative estimation of this convergence rate. It is well known that the convergence rate in entropy is between the optimal constant of LSI and the spectral gap of the generator. In addition, for some Markov processes, the optimal constants of LSI are equal to the convergence rates. According to this property, we intend to explore the ergodicity in entropy of the Markov process by studying these two kinds of functional inequalities (LSI and EI), and then give a quantitative description of the convergence rate. The project will start from the state space with two points, we find the exact value of the convergence rate, and give a new criterion for the ergodicity in entropy on the general spaces. For the one-dimensional case, we focus on the diffusion process and the birth-death process, and give the variational formula of the optimal constant in LSI and EI by the Hardy-type inequality and variational method. For high dimensional case, we use coupling method and condition method to transform the high dimension into one dimension.

相对熵作为概率论和信息论的重要概念，可以用来研究马氏过程的遍历性。从定性的角度，马氏过程相对熵的遍历性等价于熵不等式(EI)成立，并且对数Sobolev不等式(LSI)能推出相对熵的遍历性。但是相对熵遍历速度的定量估计方法并不多。目前所熟知，此遍历速度介于LSI最佳常数和生成元谱隙之间，另外对某些过程，LSI的最佳常数等于此遍历速度。根据此性质，本项目拟通过LSI与EI这两类泛函不等式最佳常数的研究，探索马氏过程相对熵的遍历性，同时给出遍历速度的定量刻画。本项目将从两点状态空间出发，寻找此特殊情况下相对熵遍历速度的精确值，进而给出一般空间上相对熵遍历性新的判别准则；对于一维情况，围绕扩散过程与生灭过程，引入Hardy型不等式与变分法等分析工具，给出LSI与EI最佳常数的变分公式并得到此常数新的估计；对于高维情况，则构造合适的随机过程，通过耦合方法与条件化方法，将高维化为一维情况进行研究。

本项目围绕马氏过程相对熵的遍历性展开研究，主要研究内容包括相对熵指数收敛速度的估计，生灭过程与扩散过程的稳定性与长时间行为，以及随机过程稳定性研究方法和非线性研究方法在相关领域的应用。研究的核心目标是非线性尺度下随机过程的稳定性。.研究工作按照年度计划逐年开展研究，进展顺利。项目研究内容大部分已经完成，得到的研究成果具体列举如下。i.我们研究了在非线性函数f的变换下马氏过程的指数遍历性，得到了f-遍历性判别准则与指数遍历的速度估计；ii.我们考虑带Lévy跳的Ornstein-Uhlenbeck过程的稳定性与长时间行为，并且通过Lyapunov漂移条件方法，得到此类过程遍历性的充分条件以及平稳分布的尾性质；iii.我们研究了α-stable过程驱动的随机泛函微分方程的数值解，并且得到Euler-Maruyama数值方法的收敛性判别以及收敛速度阶的估计；iv.我们用Stein方法研究随机过程在非线性距离下的遍历性，并得到了在非线性Wasserstein 距离下Poisson近似的Stein常数的估计；v.我们将非线性研究方法应用于马氏过程的风险控制问题，给出了新的Lyapunov漂移条件并证明了最优方程解的存在唯一性以及构造出风险灵敏准则下最优的控制策略；vi.我们研究带延迟控制的马氏过程，针对有限阶段优化准则，我们给出新的紧化方法，并且证明了最优延迟控制的存在性以及对应的HJB方程粘性解的存在性和唯一性；vii.我们将随机过程稳定性的研究方法应用于更一般的模型，即半马氏过程。我们将最优停时问题等价地转化为带控制的半马氏过程，并且给出了最优停时的显式表达以及计算最优停时的数值方法。.本项目研究过程中，给出了随机过程遍历性的研究方法以及非线性距离的研究方法。这些研究方法有很广阔的应用前景，例如分析研究大范围经济系统的稳定性，估计经济崩溃概率等问题。因此本项目的研究成果为后续马氏过程进一步的研究工作奠定了基础。