多变量几何函数论中若干映射族的研究

The main research contents of this project is divided into two parts, the biholomorphic mappings and the harmonic mappings. On the one hand, the study will focus on the development of growth theorems, covering theorems and distortion theorems for the subclasses of normalized biholomorphic mappings in several complex variables . In order to avoid the dependence on the geometric properties of mappings, we from a new viewpoint to discuss the growth theorems and covering theorems for the subclasses of normalized biholomorphic mappings. Furthermore, the distortion theorems for starlike mappings and its subclasses are established on convex Thullen domain using the Schwarz lemma on the boundary. On the other hand, the criterion for harmonic starlike functions and harmonic convex functions in one complex variable will be generalized to the case of harmonic starlike mappings and harmonic convex mappings which are defined on the unit ball in multivariate Euclidean space by the methods of differential geometry and the methods of partial differential equation.

本项目的主要研究内容分为双全纯映射与调和映射两个方面. 一方面, 我们主要致力于多复变数正规化双全纯映射子族的增长定理、掩盖定理和偏差定理的研究. 为了避免以往对映射族几何性质的依赖, 我们拟从新的视角刻画双全纯映射子族的增长定理和掩盖定理. 进一步地, 我们拟利用边界型Schwarz引理来刻画星形映射及其子族在凸Thullen域上的偏差定理. 另一方面, 我们拟利用微分几何和偏微分方程理论, 把单复变调和星形函数与调和凸函数的判别准则推广到定义在多变量欧氏空间单位球上的调和星形映射与调和凸映射的情形.

通过项目组成员的共同努力，我们基本完成本项目的研究任务。首先，通过分析熟知的正规化双全纯映射子族的分析性质与几何性质，我们定义了三类新的多变量正规化双全纯映射族，同时用Loewner链给出它们的等价刻画。进一步地，为了简化运算并克服以往对映射族几何性质的依赖，我们利用Loewner理论给出四类正规化双全纯映射子族的增长定理和掩盖定理。其次，利用单位球的边界型Schwarz引理以及映射族的增长定理和掩盖定理，我们不仅得到了星形映射族的子族：α 次准凸映射在极值点处的行列式型和矩阵型精细的偏差定理，而且得到了近 α 阶殆星形映射等其它三类映射族沿某一单位方向的偏差定理。接着，根据已有的对正规化双全纯凸映射与正规化双全纯星形映射的研究基础，我们给出了欧氏空间单位球上多重调和凸映射与多重调和星形映射的判别准则，同时还给出了一些具体例子。最后，我们证明了Roper-Suffridge算子保持某些新的映射性质。同时还给出了改进的Roper-Suffridge算子保持某些映射性质的充分条件。从以上这些结果出发， 我们可以很容易地得到一些熟知的结果。