奇异临界的椭圆方程在混合边界条件下的可解性

带临界指数的奇异椭圆方程边值问题来源于许多应用学科. 特别, 临界指数和几何中的Yamabe问题联系紧密，奇异项（Hardy项）和物理中的N维天体运动息息相关. 但到现在为止，较少有学者研究奇异点在边界上的带临界指数的椭圆方程在混合边界条件下解的存在性问题.. 本项目致力于研究奇异点在混合边界不同部分对特征值及空间嵌入常数的影响，进而研究奇异临界的椭圆方程在混合边界条件下的共振问题、加权奇异临界的椭圆方程混合边值问题及奇异双临界椭圆方程混合非齐次边值问题. 所用方法是变分方法和临界点理论的相关工具及分析技巧.. 本项目将有助于揭示奇异临界的椭圆方程在混合边界条件下解的存在性的一般规律，希望通过本项目的实施，促进对该类问题进一步的关注和研究，为其他学科的相关问题研究提供理论依据，也为相关非线性问题的研究提供理论基础.

偏微分方程来源于许多应用学科，偏微分方程的初边值问题是研究的重点和热点. 特别是与几何中的Yamabe问题及物理中的N维天体运动息息相关的带临界指数的奇异椭圆方程边值问题研究的人很多，但对于混合边值问题研究的人很少. 本项目致力于研究奇异临界的椭圆方程在混合边界条件下的可解性.. 本项目首先研究了研究内容中的第一类问题的特殊情况之一----在单一的Dirichlet边界条件下. 研究了次临界的拟线性椭圆方程在非线性项类似非二次条件及原函数不超过两个相邻特征值之间，即在特征值的右边共振的条件下，得到了这类方程解的存在性结果. 同时，研究了次临界非线性项在原点和无穷远点都是渐近p线性非二次的拟线性椭圆方程在与第一特征值有关的条件下用上同调环绕得到三个临界点的存在性结果. 另外还研究了一类超线性次临界的半线性椭圆方程的线性部分的参数在逼近特征值（除第一个特征值外）的左边时的可解性条件.. 本项目主要研究了在混合Dirichlet-Neumann边界条件下具有各种非线性扰动项（超二次、次二次、线性）的拟线性椭圆方程. 研究的方法就是一些常用的不等式不再使用，引入新的嵌入不等式且应用各种分析技巧和能量估计，得到了临界椭圆方程在混合边界条件下所对应的能量泛函满足的局部(PS)条件，从而得到了新的可解性条件和多解条件.. 本项目还对无界区域的一些方程和方程组（系统）研究了解的可解性条件，如Gross-Pitaevskii方程、薛定谔方程、对具有渐近线性的非线性项的非齐次Kirchhoff方程和薛定谔-泊松系统等.. 对无界区域、非奇异以及次临界的单一边界方程和方程组的研究主要为了加深掌握和理解有界区域和无界区域的本质区别、奇异与非奇异的本质区别、次临界和临界的本质区别、单一边界和混合边界的本质区别、单个方程和方程组的本质区别，有助于揭示奇异临界的椭圆方程在混合边界条件下可解性条件的本质，促进对这类问题进一步深入地关注和研究.