单李超代数的极小忠实表示

As an important part of nonassociative superalgebra category, Lie superalgebras not only are closely related to many branches of mathematics, but also have classical physical background. Simple Lie superalgebras play an important roles in Lie superalgebras, whose faithful representations can realize them into the sugalgebras of general linear Lie superalgebras without any loss. We shall study faithful representations of finite dimensional simple Lie superalgebras over an algebraically closed field of characteristic zero, which is helpful for representations theory of Lie superalgebras and classification of simple modular Lie superalgebras. We aim to give minimal dimensions of faithful representations and classify faithful representations of these dimensions for all the finite dimensional simple Lie superalgebras.

李超代数是一类重要的非结合超代数，与众多数学分支都有紧密联系，并有深刻的物理背景。单李超代数在李超代数中占有重要的基础地位，而忠实表示可以实现抽象的代数在一般线性李超代数中的具体化，并且不会丢失原有代数的任何信息。本项目拟对特征零的代数闭域上有限维单李超代数的忠实表示做一系列的研究。项目的预期结果对李超代数表示理论以及素特征域上单李超代数的分类工作具有促进作用。本项目拟解决关键问题如下：计算有限维单李超代数忠实表示的极小维数，并给出有限维单李超代数具有极小维数的忠实表示的分类。

李超代数在理论物理和数学领域中扮演重要角色，单李超代数在李超代数中又占有重要的地位。现阶段对特征零域上幂零李超代数以及现有的单的模李超代数的表示理论以及上同调问题的研究还处于起步阶段，很多重要问题亟待研究。本项目已对特征零域上Current Heisenberg 李超代数的极小忠实表示，某些限制Cartan型模李超代数的限制表示，典型单模李超代数到X简约Kac模或baby Verma模以及任意单模的低阶上同调群进行了刻画。项目的已取得的结果对特征零域上单李超代数的表示理论，单模李超代数的分类与表示理论的发展具有促进作用。项目的已见刊的成果工作具体陈述如下：.① 刻画了特征零域上Current Heisenberg 李超代数的一类特殊的忠实表示的极小维数;.② 给出了限制Cartan型模李超代数SKO的限制Kac模的不可约性的充要条件；.③ 确定了特殊线性模李超代数sl(2,1)到X简约Kac模以及任意单模的低阶上同调群。