广义向量丛和主丛的示性类

Finite dimensional smooth manifolds are important objects in mathematics, but infinite dimensional and singular geometric objects are common in study. The traditional method is to mimic the finite dimensional case: For instance, infinite dimensional manifolds are gluings via local isomorphisms of infinite dimensional topological vector spaces, and singular spaces (like orbifolds) are also gluings of local models. Such point of view not only artificially separates the connections among these geometric objects, but also puts too many technical details into definitions which keep the beginners away. Souriau's diffeology overcomes these shorcomings via sheaf theory. In this project, I would like to study characteristic classes of diffeological vector bundles and principal bundles consisting of infinite dimensional or singular spaces in the framework of diffeology.

有限维微分流形是数学中的重要研究对象,但无限维和奇异的几何对象在研究中广泛存在。传统的做法是模仿有限维的情形：比如无限维流形是无限维拓扑线性空间通过局部同构粘结而成；而奇异流形（例如orbifolds）也是通过局部模型作粘合。这样的观点一方面割裂了不同几何对象之间的联系，另一方面把太多技术细节融入定义中而让初学者望而却步。Souriau的广义流形（diffeological spaces）从层理论的观点出发，克服了这两个缺点。在这个项目中，我想要以广义流形为框架研究由无限维和奇异流形构成的广义向量丛和主丛上的示性类。

广义流形给经典微分几何与拓扑中的光滑流形、无限维空间以及奇异空间提供了统一的框架。本项目主要研究广义向量丛和主丛上的示性类。从拓扑的观点出发，我们成功地证明了每个广义李群都有光滑分类空间。具体地说，当固定底空间后，D数值主丛的同构类与从该底空间到对应的光滑分类空间的映射的光滑同伦类自然地一一对应。因此，光滑分类空间在光滑同伦等价意义下是唯一的。这些结果对于D数值广义纤维丛和向量丛都成立。我们对一些常见的光滑分类空间作了具体的刻画，而这些刻画都基于光滑分类空间的光滑同伦唯一性。这为后面利用光滑分类空间做几何和拓扑应用打下了基础。另一方面，为了进一步研究广义向量丛，我们对广义向量空间的一些常见的性质作了比较。这些性质包括了极小性、投射性、光滑线性泛函分离点性、光滑泛函分离点性、有限维子空间极小性和Hausdorff性。论文中还给出了一些奇特的例子。这为后续以相应的广义向量空间为模型构建的几何体的研究做了必要的铺垫。最后我想感谢本基金对我在国内和国外若干会议上作报告的经费支持，使我能把我们的结果介绍给专家并获得认可及会后颇有收获的讨论。