利用量子模拟研究Jones多项式的计算

Jones polynomial plays the key role in the knot theory. They can be used to distinguish two topologically different knots which cannot be continuously transformed from one to another. Jones polynomial is also proved that it is close related with topologic field theory (Chern-Simons theory), statistical physics and the reconstruction of DNA. Therefore, it is important to calculate Jones polynomial. However, it is a difficult task: the optimal algorithm for exact calculating the Jones polynomial needs exponential increased resource and even approximation the Jones polynomial at a principle root of unity is still a #P-hard problem. Fortunately, the braiding of non-abelian anyons offers an effective algorithm to calculate the #P-hard Jones polynomial. In this algorithm, each type of anyons corresponds to the value of Jones polynomial at a fixed principal root of unity. Here, we use the technology which is developed to investigate the exchange of Majorana zero modes to investigate the calculation of the Jones polynomial. We will further investigate the Jones polynomial corresponding to different parafermion and use these values to judge if two different knots are topologically equivalent.

Jones多项式在纽结理论的研究中起着重要的作用，它是拓扑不变量，能够用来区分某些拓扑不等价的纽结。Jones多项式还与拓扑场论，统计物理学以及DNA的重构有密切关系。因此，Jones多项式的计算就显得异常重要，然而，它又非常困难。已知的最优经典算法都需要指数增长的资源，即使近似计算某些单位主方根处的函数值也还是一个#P-hard问题。庆幸的是，利用非阿贝尔任意子，多项式时间就可以计算出Jones多项式这些地方的值。在此算法中，每一种非阿贝尔任意子都只对应Jones多项式的某个单位主方根处的函数值。我们将利用模拟马约拉纳零模的技术来模拟Jones多项式单位主方根处的计算，还将进一步研究不同非阿贝尔任意子（不同的Parafermion）对应的Jones多项式的值，并利用这些值来判断不同的纽结是否拓扑等价。

拓扑量子计算是实现普适量子计算的重要方式，Jones多项式的计算是体现量子优越性的重要算法。在固态系统中操控任意子仍超出当前的技术能力，光学系统提供了模拟拓扑量子计算的理想平台。利用光子干涉我们模拟了仲费米子的非阿贝尔编织（交换）特性，验证了通过编织实现编码Clifford操作的可行性。通过此平台模拟了上下文关系在仲费米子编码下的拓扑保护以及在Clifford操作下的不变性。扩展后的系统正进一步用于Jones多项式计算的模拟。.量子行走是演示拓扑物理的重要平台，基于量子态可重构的光学量子行走系统，我们展示了非平衡动力学中由演化时间驱动的动力学相变，并获得DTOP和动力学陈数刻画下猝灭过程的不同分类。基于量子行走系统中初态制备的灵活性，实验展示了可积系统对ETH理论的违背以及对扩展ETH理论的支持，为认识量子统计的起源提供了支撑。.高维系统性质的研究受到实验系统空间维数的制约，人工维度是实现高维系统的重要手段。通过在简并腔中引入相位片以及参数维度的方式，我们构造了一个紧凑的二维系统。利用简并腔特性，系统不同动量的物理量可通过共振传输特性进行直接测量。基于此系统，我们测量了系统能带结构，并由此计算了模拟系统的拓扑量；通过进一步引入耗散，测量了非厄米系统中的复能量、奇异点物理以及复能量黎曼面的结构。为研究高维非厄米系统提供了途径。