从共形场论，D膜到新几何

本课题主要围绕对2维共形场论的数学理论进行深入研究。基于我以前工作里对有理带边共形场论的分类和对弦论中D膜的严格数学定义，我提出来一个基于2维共形场论的一个全新的几何。这其实是弦论带来各种几何上的全新进展的深层原因。本课题的长远目标就是全面发展这个新的几何。这里涉及到很多不同的数学领域特别是代数，表示论，代数几何和低维拓扑，特别有利于整合不同方向上数学家做非常系统化的工作。本课题的近期目标是: (1)给出共形场论和拓扑场论中对偶和缺陷之间的精确的对应关系；（2）完成新几何一个初步的纲领；(3)对共形不变的D膜的分类，这个需要克服一个表示论上的困难：即如何精确地刻画顶点算子代数作为它的Virasoro子代数的模是如何分解的；(4)建立共形不变的D膜的张量范畴理论；（5）共形场论和张量范畴在凝聚态物理中拓扑序理论中的应用。

项目内容主要分为两个方向，一个是二维共形场论的数学基础，一个是共形场论相关数学的应用。（1）共形场论的基础是这个计划的主要内容，我们的目的是要发展一套全新的几何基础。在这个问题上北京大学的郑浩和我讨论了3年，这一部分非常的困难，我们需要发展无理顶点算子代数的表示论，现已经取得很好的进展，但是文章的完成应该在今年夏天。除此之外，我们还完成了一个新几何的基本纲领（已发表），证明了缺陷和对偶的对应，以及全息原理的函子性，另外我们还统一了有理共形场论的两种不同理论框架。（2）在共形场论相关数学的应用上面，我们将张量范畴理论应用在了凝聚态物理中的拓扑序的研究中，特别是和Kitaev合作将Levin-文 模型扩展到边界和缺陷，并给出Levin-文 模型的严格的数学基础，提出并证明了boundary-bulk对偶和缺陷-对偶的一一对应。另外我还完成了任意子凝聚的完整的数学理论，以及合作完成了扩展弦网模型中的电磁对偶理论。