量子相干性的定量刻画及与关联、操控的联系

Quantum coherence is an important kind of physical resources, which is widely used in various information processing tasks. Generalized probabilistic theories is a general framework incorporating quantum probability and classical probability. Based on our previous work on related problems, we plan to study the following ones: First of all, using polar decomposition and operator matrix techniques, we will use the scaled addition rule of quantum states to obtain some new entropy inequalities; we will introduce some new measures of quantum coherence based on partial fidelity, partitioned trace distance and Rényi relative entropy, and further discuss the dynamical evolution of coherence under different environment. Secondly, by combining group representation theory and Haar measure, we will try to find the sufficient and necessary conditions (or sufficient/necessary conditions) for two-qubit EPR steering from the geometric perspective of steering ellipsoids, discuss the relationship between coherence and EPR steering, and further investigate the connection between coherence measures and other quantum correlation measures besides quantum discord. Finally, utilizing cone theory and partial order method, we will study measurement non-disturbance in generalized probabilistic theories, introduce the concept of coherence and discuss its properties in generalized probabilistic theories, and furthermore, establish the relationship between coherence, correlation and steering under such framework. The research of this project will help us better understand the essence of coherence and its relationship with other physical resources.

量子相干性是一种重要物理资源，广泛应用于各类信息处理任务。广义概率论是包含量子概率与经典概率在内的一般框架。在前期相关工作基础上，本项目拟研究以下问题：首先，以极分解和算子矩阵分块技巧为工具，利用量子态标度加法讨论新的量子熵不等式；引入基于部分保真度、部分迹距离和Rényi相对熵的量子相干性度量；利用主方程和量子热力学知识，研究相干性在不同环境下的动力学演化。其次，从操控椭球的几何角度，利用群表示论和Haar测度给出二量子比特EPR操控的充分必要条件（或者充分条件/必要条件），并讨论相干性与EPR操控之间的关系，以及相干性度量与量子失协外的其他量子关联度量之间的关系。最后，利用锥理论与半序方法，在广义概率论框架下研究测量非扰动性问题；在这一框架下引入相干性的概念并讨论其性质；建立此框架下相干性与关联、操控之间的联系。本项目的研究将有助于进一步深刻认识相干性的本质及与其他物理资源的关系。

三年来，本项目在量子信息论和算子理论方面开展了诸多研究，取得了一些重要研究成果，主要包括：首先，借助于酉群积分与Lévy定理，计算了基于斜信息相干度量的随机量子纯态和量子混合态的平均相干的解析表达式，并从统计角度探讨了相应的典型性；利用辛几何理论，获得了独立随机态混合的谱密度，并得到随机轨道混合的解析公式；推导了来自GUE(n)或Wishart系综的两个随机厄米矩阵和的特征值的解析表达式，研究了相关结果在一致平均量子Jensen-Shannon散度和两轨道一致混合平均相干等问题中的应用。其次，引入了修正的广义Wigner-Yanase-Dyson (MGWYD) 斜信息和修正的加权广义Wigner-Yanase-Dyson (MWGWYD) 斜信息的概念，定义了关于量子信道的一族相干度量，导出了关于量子比特态的这些相干度量的解析表达式，并获得了基于MGWYD斜信息和MWGWYD斜信息的互补性关系及守恒律关系；导出了在一组无偏基的自张量集下Werner态和迷向态相干的解析表达式，在计算基和无偏基下，研究了关于Bell对角态和一类特殊的X态的基于斜信息相干的几何特征；定义了n次退化率的概念，研究了在n次量子信道作用下Bell对角态的相干和相干冻结时的几何性状。再次，建立了基于MGWYD斜信息和MWGWYD斜信息的若干新的测不准关系；得到了d维空间中一组给定的n个测量的量子相容性的充要条件，计算了一对二量子比特独立随机测量的不相容性概率；利用弱可重复性假设将Zurek的结果推广到GPT框架中，建立了新的信息转移规律；建立了定义多体纠缠度量的严格框架，给出了联合多体纠缠的完全单配性公式和完全多体纠缠的紧完全单配性公式，提出了多个多体纠缠度量并讨论了它们的单配性。最后，综合利用迭代方法、拓扑度方法与半序方法，在度量空间、Gb-度量空间、Menger PM-空间和半序Menger PM-空间中，建立了不同条件下单值或多值映射的不动点、耦合不动点、耦合重合点和最佳逼近点定理，并应用这些结果讨论了矩阵方程、非线性积分方程和微分方程解的存在唯一性。以上结果极大地丰富了量子相干、量子纠缠理论和算子理论，为更有效地执行量子信息处理任务奠定了理论基础。