纠缠及纠缠之外的量子关联刻画

Entanglement is a very active research subject in the era of rapid development of quantum information science since it plays an important and key role in this field. However, except for the two-qubit and two-qutrit systems,there is no any criterion which not only can detect all entangled states but also is easy to handle. In this project, by exerting methods from operator algebra and operator theory, we attempt to investigate entanglement problem from the perspective of commutativity of the operators acting on the tensor product of Hilbert space. In this project we attempt to address the following problems:(1) propose a both easy-operational and necessary-sufficient entanglement criterion and then deduce a new entanglement measure from the obtained criterion; On the basis of the obtained results, (2) characterize quantum correlations beyond entanglement and the dynamics of these quantum correlations; and then (3) discuss the "entanglement property" of positive Schatten-p class operators acting on tensor product of Hilbert spaces.

量子纠缠在迅猛发展的量子信息科学领域中起着非常关键的作用，成为该领域中的一个非常活跃的研究课题。然而，除双量子比特(two-qubit)和双量子三比特(two-qutrit)系统外至今还没有既便于实际应用又为充要条件的纠缠判据。本项目拟以算子代数、算子理论为主要工具，试图从Hilbert 张量积空间上的算子交换性角度入手解决如下问题：(1) 给出既相对便于应用又是充要条件的纠缠判据并由所得判据导出新的纠缠度；(2)在此基础上刻画纠缠之外的量子关联以及各种量子关联的演化规律，从而比较系统地对量子态的非经典性质给出刻画；(3) 进而探讨更一般的Hilbert 张量积空间上的 Schatten-p 类正算子的类似于量子态纠缠的性质。

量子关联，尤其是量子纠缠，在迅猛发展的量子信息科学中起着非常关键的作用，成为该领域中的一个非常活跃的研究课题。而算子理论与算子代数是研究量子信息理论的必要数学工具。本项目以算子理论、算子代数为工具，得到了一系列关于量子关联刻画的结果以及与量子关联密切相关的各类纠缠基和不可扩展纠缠基的构造方法：(1) 得到了无限维两体量子系统的广义部分转置纠缠判据；(2) 基于互不偏袒基给出一种新的量子关联；(3) 基于投影测量得到一种新的量子关联； (4) 得到了保持乘积态以及极大纠缠态的局域量子信道的具体形式； (5) 研究了具有任意固定 Schmidt 数的不可扩张纠缠基，证明了其存在性并给出一般构造方法；(6) 证明了多体系统状态空间也存在不可扩张基并给出了一般构造方法； (7) 证明了任意维数的两体或多体系统状态空间都存在纠缠基；(8) 给出了多体系统 Schmidt 数的一种推广形式；(9) 用局部算子的交换性得到了量子失协的一个新度量；(10) 得到了一种利用极大纠缠基构造不可扩张极大纠缠基的方法。此外，还得到了两个纯态可以在量子相干操作行转换的充要条件并研究了多体量子相干的量子关联性质。这些结果进一步刻画了量子关联及其演化的规律并且得到了两体或多体系统状态空间数学结构的新性质，为量子信息科学的发展丰富了理论基础。