四元切触流形与八元切触流形上的几何与分析

We plan to investigate geometry and analysis on quaternionic contact manifolds and octonionic contact manifolds. We will study the qc Bochner formula and the qc Paneitz operator, and use them to porve qc uniformization conjecture and qc positive mass conjecture. We will construct Q,Q’ curvature and total Q,Q’ curvature on quaternionic contact manifolds, discuss their conformally invariantness and use them to study quaternionic contact geometry. We will study the structure of exceptional Lie group F4(-20), generalize the results in spherical quaternionic contact manifolds to octonionic case, such as give the formula of scalar curvature under the conformal change, the Yamabe problem, construct the Green function, etc.. We will also construct the conformally invariants, Poincaré's critical exponent and connected sums.

研究包括四元切触(qc)流形和八元切触(oc)流形上的几何与分析。研究四元切触流形上的Bochner公式以及Paneitz算子，并用此证明四元切触流形上的单值化猜测和正质量猜测。构造四元切触流形上的Q，Q’曲率和完全Q，Q’曲率，讨论其共形不变性，并发展其在四元切触几何上的应用。研究例外李群F4(-20)的代数结构和作用方式，把球型四元切触几何上的一系列结论推广到八元切触流形上，讨论八元切触流形上的共形变换，共形变换下数量曲率的变换公式，Yamabe问题，Green函数等。构造八元切触流形上的共形不变量及相关的Poincaré指数，连通和等。

四元数和八元数是复数的推广，在纯数学和应用数学均有广泛的应用；切触几何是微分几何的一个重要的研究分支。四元切触几何与八元切触几何是实的Riemannian几何以及多复变函数论中的CR几何的四元与八元推广。四元切触流形与八元切触流形上的几何分析是几何分析的一个重要的分支，对推动微分几何，复几何的发展有重要的意义。本项目主要研究四元切触流形与八元切触流形上的几何与分析，以及Heisenberg群，四元Heisenberg群和八元Heisenberg群上的函数论。. 我们研究了例外李群F4(-20)的代数结构及其在八元Heisenberg群上的作用方式，以及F4(-20)的离散子群的凸余紧子群的性质，给出了共形变换下数量曲率的变换公式，构造了八元切触流形上的Yamabe算子及其Green函数，构造了八元切触流形上的共形不变量，给出了八元切触正质量猜测并利用F4(-20)的离散子群的凸余紧子群来构造八元切触流形上的Nayatani型不变度量，得到了八元切触流形的数量曲率的符号与Poincaré指数的关系。构造了切向右四元Heisenberg群上的k-Cauchy-Fueter复形，这个复形相当于经典的Heisenberg群上的d-bar_b复形。在相容性条件下我们可以应用L2估计求解非齐性的切向k-Cauchy-Fueter方程，由此我们得到了高维情况下右四元Heisenberg群上的k-CF方程的Hartogs现象。给出了Heisenberg群上k-CF函数的Penrose积分表示公式并建立了切向k-Cauchy-Fueter算子的Bochner-Martinelli积分表示公式。我们还构造了Heisenberg群上的切向k-Cauchy-Fueter复形，并证明了这个复形是正合的。我们给出了四元Heisenberg群以及八元Heisenberg群上切向k-Cauchy-Fueter型算子的Bochner-Martinelli积分表示公式。研究了局部共形平坦流形上的Q曲率，应用局部共形平坦流形上的Paneitz算子对应的Green函数构造了一类局部共形平坦流形上的共形不变度量，这是Harbermann-Jost型共形不变度量的一个推广。