光晶格势中物质波孤子动力学演化行为研究

By using the analytical methods, such as the similar transformation method, the classical and non-classical Lie group method, the Darboux transformation method, and combining with the numerical methods, including the finite difference and split-step fast Fourier transformation method, this project aims to expand the soliton theory methods developed in recent years and solve the Gross-Pitaevskii equation described the Bose-Einstein condensation in the optical lattice potential. It also aims to obtain various analytical and numerical solutions. Based on these solutions, we can further study the stationary properties of the Bose-Einstein condensation, such as size and shape etc., and the dynamical behaviors of the Bose-Einstein condensation, such as excitation, soliton and vortex etc. Our results may provide theoretical foundation for development of the solid device in optical lattice potential.

本项目拓展近年来发展的孤子理论方法，如相似变换方法、经典和非经典形式的李群方法以及达布变换等解析方法，结合有限差分、分步傅里叶变换等数值方法，对光晶格势中描述玻色-爱因斯坦凝聚的空间调制高次非线性、高维以及多组分的变系数Gross-Pitaevskii(GP)方程进行求解，获得物质波局域结构的各类解析和数值解，进而研究玻色-爱因斯坦凝聚的静态性质（如凝聚体的尺寸、形状等）和动力学性质（如集体激发谱、孤立子以及涡旋等）。本项目研究将为光晶格势中物质波在固体器件研制等尖端科学技术领域的实际应用提供可靠的理论基础。

本项目拓展近年来发展的孤子理论方法，对光晶格势中描述玻色-爱因斯坦凝聚的空间调制高次非线性、高维以及多组分的变系数GP方程进行求解，获得物质波局域结构的各类解析和数值解，进而研究玻色-爱因斯坦凝聚的静态性质和动力学性质。基于此，本项目进行了以下研究：.（1）光晶格势中高次非线性物质波孤子动力学演化研究方面：提出了一种在光晶格势中具有空间调制的五次非线性的GP方程，同时给出了从该模型到静止的五次非线性薛定谔方程的变换形式。利用该变换，给出了方程三种类型的解，包括雅可比椭圆余弦函数形式解、联合雅可比椭圆函数形式解和亮孤子解。研究结果有助于加深对BEC中TG体系的物理理解。.（2）光晶格势中高维物质波孤子动力学演化研究方面：研究了非线性变系数GP方程的高维孤子结构及其激发行为控制。首先建立了谐波势下偏非局部非线性（3+1）维变系数GP方程与（2+1）维常系数GP方程之间的约化关系。借助于Hirota方法获得的（2+1）维常系数GP方程的解。其次，在线性和抛物线势下研究了非自治(2+1)维耦合的偏非局部非线性薛定谔方程，发现了非自治方程和自治方程之间的一种映射表达关系。通过这种映射关系，利用Darboux方法，发现了丰富的精确解，如标量和矢量交叉呼吸子对等。在不同外势中研究了标量和矢量交叉呼吸子的激发控制行为。另外，在线性势下，研究了三维非自治偏非局部耦合的GP方程，实现了从三维非自治耦合方程到自治耦合方程的相似性约化。利用双线性方法的二维自治非线性薛定谔模型解，得到了三维非自治耦合方程的时空矢量涡和偶极孤子解。.（3）光晶格势中多组分物质波孤子动力学演化研究方面：研究了描述色散渐减光纤中多孤子传输动力学的高阶耦合变系数非线性薛定谔方程，获得了精确的双峰孤子解。研究了不同光纤参数下的双峰孤子，并讨论了双峰孤子的相互作用特性。研究结果为色散渐减光纤中孤子强度的增强提供了理论方案。