某些随机量子非线性偏微分方程的动力学行为和逼近理论

Dynamics behaviors and approximation theories of some stochastic quantum nonlinear partial differential equations with various noise are mainly investigated in this project. The main aims studied in this project are mainly including one-dimensional and higher dimensional stochastic vector quantum Zakharov equations, higher dimensional stochastic vector nonlinear quantum Schrödinger equation. The specific studied contents are focused on (1)fractal dimension and semi-supper continuous of random attractors, existence of stochastic invariant manifolds and their approximation forms, approximation systems of slow-fast stochastic system, existence and approximation of stochastic slow manifolds, approximation system and corresponding rates of convergences under oradiabatic approximation or when quantum coefficients tend to zero for one-dimensional stochastic quantum Zakharov equations, (2)the well-posedness of solutions, regularity, existence of stochastic dynamical system, dynamics behaviors and some approximation theories for higher dimensional stochastic vector quantum Zakharov equations, (3)scopes of supercritical values of well-posedness of solutions and stochastic dynamics behaviors for higher dimensional stochastic vector nonlinear Schrödinger equation. On the basis of Itô formula and stochastic transformations, using some techniques and methods of estimates of tail terms, decomposition of solutions, deviation theories and so on, some new results can be obtained by some principles and theories such as Galerkin method, principle of contraction mapping, principle of approximation system. It is very important to study these problems in the meaning of theories and values of applications.

本项目主要研究由不同噪音驱动的某些随机量子非线性偏微分方程的动力学行为和逼近理论。项目围绕随机一维和高维向量型量子Zakharov方程、量子非线性Schrödinger方程开展研究。具体研究内容为：(1)随机一维量子Zakharov方程吸引子的分形维数和上半连续性、随机不变流形的存在性及逼近、快慢系统和慢流形的存在性及逼近、量子系数趋于零时或近绝热极限情况下的逼近系统和收敛率问题；(2)高维随机向量型量子Zakharov方程解的适定性、正则性、随机动力系统的存在性及其动力学行为和某些情况下的逼近理论；(3)随机向量型量子非线性Schrödinger方程的解的适定性的临界值范围和随机动力学行为。根据Galerkin方法、压缩映射原理和逼近原理等理论，主要通过Itô公式和随机变换，利用尾项估计、解的分解、偏差理论等技巧和方法来分析研究得到新结果。所研究问题具有重要的理论意义和应用价值。

本项目主要研究由不同噪音驱动的某些随机量子非线性偏微分方程的动力学行为和逼近理论。首先，研究了耗散量子Zakharov方程的动力学行为中的吸引子的存在性及其维数估计，且研究了其他随机非线性偏微分方程的拉回吸引子的存在性、吸引子的上半连续性、随机流形的表示形式及其逼近系统、随机分形维数的估计等动力学行为，并得到了相应的结果。其次，为了进一步研究高维的随机非线性偏微分方程的动力学行为和逼近理论，从确定性的高维的非线性偏微分方程的动力学行为和逼近理论出发，寻找随机高维的动力学行为的方法和结果。利用确定性的结果，通过Itô公式和相应的随机变换进行得到某些逼近理论的研究。从研究高维的非线性偏微分方程解的表示形式和非线性动力学行为的研究出发，研究了解的逼近形式和非线性现象，主要包括高维的KPI方程、5阶的Sawada-Kotera方程、量子Zakharov-Kuznetsov方程等与Schrödinger方程相关的高维的非线性偏微分方程，得到了相应的怪波逼近等非线性动力学行为及其产生的主要依据。这些结果对一些描绘海洋波的高维随机非线性偏微分方程的动力学研究和逼近理论提供了很好的前期基础和重要依据。最后，对随机非线性偏微分方程解的适定性理论及其动力学行为和逼近理论，所用的主要方法和原理，主要包括Galerkin逼近方法、压缩映射原理和极限逼近原理等，以及在研究随机偏微分方程的动力学行为时所用到的关键方法和技巧主要包括Itô公式的应用、随机变换、尾项估计、解的分解、偏差理论等，在项目研究过程中进行了系统化。相关结果形成的题目为随机偏微分方程的渐近行为的具有相辅相成体系的专著一部，为后期的进一步的研究提供了重要的理论价值和应用价值。