非完整约束力学系统的保结构算法及控制应用

Base on the theory of geometrical dynamics for nonholonomic constraint systems and methods of Lie groups and Lie algebras, the foundational idea of structure-preserving algorithms is utilized to realize the research of the symmetry reduction, structure-preserving algorithms of nonholonomic systems and its application in the nonholonomic control systems. The main contents include: (1) Symmetry reduction of nonholonomic systems. (2) Structure-preserving algorithms of nonholonomic systems. (3) The control problems and experimental verification in the nonholonomic systems. (4) The application of structure-preserving algorithms in control problems. Research meaning: (1) A new research field of the preserving structure algorithm is opened up, which can improve the geometrical numerical integration methods. At the same time, it is not only the new development of the research technique of nonholonomic mechanics, but also fit the gap between the theoretical analysis of nonholonomic mechanics and the application of engineering. It can build the bridge and ligament that contact the theoretical research of nonholonomic constrained systems and practical application of engineering. (2) Revealing the relationship between the nonholonomic and controllability of constraints, developing the motion planning and control technique of nonholonomic systems. It is of great significance to explore the essence of the movement of the complex mechanical system and broaden the research field of the control theory. (3) it enriches the research content of nonlinear control theory. It explores further the new idea of nonholonomic control system from the perspective of theory and practice, and provides necessary theoretical support for the theory of nonholonomic control system applied to practice.

本项目基于非完整约束系统的几何动力学理论和Lie群Lie代数方法，利用保结构算法的基本思想，研究非完整系统的对称约化、保结构算法及其在非完整控制系统中的应用，内容包括：（1）非完整系统的对称约化；（2）非完整系统的保结构算法；（3）非完整系统中的控制问题和实验验证；（4）保结构算法在控制问题中的应用。研究意义：（1）开辟了保结构算法研究的新领域，改进几何数值积分方法，同时也是非完整力学研究方法的新发展，拟合非完整力学的理论分析和工程应用之间的差距，建立非完整力学理论与实际应用之间的桥梁和纽带；（2）揭示约束的非完整性与可控性之间的关系，发展非完整系统的运动规划和控制方法，对探索复杂机械系统的运动本质，拓宽控制理论的研究领域具有重要意义；（3）丰富了非线性控制理论的研究内容，为进一步从理论和实际相结合的角度研究非完整控制系统开拓了新的思路，为非完整控制系统理论用于实际提供了必要的理论支撑。

研究背景：以约束系统几何动力学、对称性约化、控制理论为基础，结合保结构算法思想，开展约束系统的保结构算法及其应用研究一直都是分析力学研究的重要领域，是分析力学发展的需要，是解决分析力学研究成果在各类系统中应用的关键问题。.研究内容及重要结果：本项目基于约束系统的几何力学理论和Lie群Lie代数方法，结合保结构算法的思想，研究了非完整系统的准正则化、对称约化、保结构算法及其在非完整控制系统、微观动力学系统，光纤激光器反馈系统和电磁层析成像系统中的应用。从而在一定程度上实现了约束系统的保结构算法在各类动力学系统中的应用。具体结果为：（1）从分析约束力学系统的“欠定”问题出发，对约束力学系统的几何动力学和几何数值积分的基本问题做了综述和深入探讨；（2）利用线性映射和准正则化方法研究了完整和非完整系统的平衡稳定性和适用范围，并对两轮小车模型开展了对称约化和保结构算法研究；（3）给出了实现可控Birkhoff系统自由运动的可能性和平衡稳定性条件；(4）建立了幂律Hamilton方程，讨论了其不同于标准Hamilton方程的特性；（5）讨论了非保守非线性刚-弹-液-控耦合系统系统的动力学建模和数值分析；（6）数值研究了Bose-Einstein凝聚和第二类Weyl半金属的金属-超导-金属结中的Andreev反射问题；（7）研究了FBG调谐连续光纤激光器的设计，约束Boltzmann机自动编码系统和基于分数卡尔曼滤波器电磁层析成像系统的EMT图像重建算法；（8）提出了分析力学应用研究的新领域—未来近地小行星防御策略和相关亟待解决的关键科学问题。.研究意义：对约束力学系统的对称性约化、保结构算法和控制应用的研究工作促进了约束系统动力学的新的发展，深化了约束力学系统几何动力学的研究工作，拓展了约束系统几何数值积分的应用领域，同时，本研究提出了许多分析力学未来研究的新课题和新领域，为分析力学学科未来发展起到重要作用。