最优几何泛函不等式和非线性流

Extremal problem for geometric and functional inequalities has been a very important hot topic in classical analysis. See e.g. the famous isoperimetric problem, optimal transportation problem, geometric Yamabe, prescribing curvatures and eigenvalues problems. It has vast applications in analysis, geometry, probability, PDE and mathematical physics. ..This project is to study the sharp constants and extremizers for various geometric and functional inequalities in either compact or noncompact spaces, using various variational methods, including the Bakry-Emery and nonlinear flow methods. Especially, we will be focused on the following problems: 1. Generalized Sobolev inequalities with non-integer weights, Renyi entropy and nonlinear flows. 2. Fractional inequalities and flows, and stability problems 3. Other classical inequalities in harmonic analysis and several multilinear inequalities. 4. The sharp inequalities on general manifolds and nilpotent Lie groups...The study of this project will enrich greatly the profile of extremal theory of geometric and functional inequalities, and on the other hand, provide strong theoretical tools for many problems in analysis, geometry, PDE and mathematical physics.

几何泛函不等式的最优刻画一直以来都是经典分析中的重要课题。 例如等周问题、最优运输问题 、几何 Yamabe 问题、曲率定制问题、特征值问题等。它们在分析，几何，概率论，偏微分方程和数学物理中都有重要的应用。 ..本项目主要通过各种变分方法，包括Bakry-Emery 熵方法和非线性流，研究紧和非紧空间上的各种几何泛函不等式的最佳常数和极值函数。 重点研究下面几类问题： 1.带分数次权的 Sobolev 型不等式、Renyi熵和非线性扩散流。 2. 分数次不等式、分数次流和稳定性 3. 调和分析中的经典不等式和几个多线性不等式。4. 在流形和幂零李群上的推广。..本项目研究成果将极大地丰富和完善几何泛函不等式的最优理论，为分析，几何，偏微分方程和数学物理提供强大的理论工具。

本项目主要研究最佳几何泛函不等式及其与非线性流的关系。近30年，几何泛函不等式、极值和改进问题一直是前沿数学中非常重要的热点课题。包括2010年和2018年Fields奖得主A. Figalli 和 C. Villani教授在内的许多著名数学家在此领域做出了很多突破性的工作。本项目主要解决了几个经典（次）黎曼流形上的分数次、奇异和p指标的最佳不等式问题，特别是发展了Bakry-Emery 非线性熵方法，这种抛物方法建立了最佳不等式和非线性流逼近行为之间的统一联系。本项目为后续相关问题的研究奠定了基础，对这类问题的研究为分析、几何、偏微分方程和信息论等领域提供了重要的理论工具，此方向未来仍将是重要的数学前沿热点。