非线性扩散熵及其在最优传输与泛函不等式中的研究

Optimal transport and functional inequality are two important research directions in probability theory, the research methods combine many other subjects, including probability theory, PDE, geometric analysis and information theory etc., the concept of entropy plays a very crucial role. The project mainly studies the entropy associated with the nonlinear diffusion and applications in the optimal transport and functional geometric inequalities. In particular, it consists of Perelman type W-entropy formula for nonlinear diffusion equations on Riemannian manifold and Wasserstein space , the equivalence between curvature-dimensional condition and displacement convexity and contraction properties of nonlinear diffusion entropy in the sense of Wasserstein metric, the concavity of Renyi entropy power on Riemannian manifold and metric measure space, and functional inequalities and rigidity applying entropy production method of nonlinear flow. The solution to these problems will provide new ideas and methods for the study of nonlinear diffusion equations, moreover, this will establish a closer relationship among many subjects including probability theory and geometric PDE .

最优传输与泛函不等式是当今概率论中两个重要的研究方向，研究方法综合了概率论、偏微分方程、几何分析与信息论等学科，其中熵在其中起到了关键作用。本项目主要研究与非线性扩散相关的熵，以及在最优传输与泛函几何不等式中的应用，主要包括黎曼流形与Wasserstein空间上非线性扩散方程的Perelman型W-熵；非线性扩散熵在Wasserstein度量意义下的位移凸性和收缩性与曲率维数条件的等价性；黎曼流形与度量测度空间中Renyi熵幂的凹性；利用非线性流的熵增方法推导泛函不等式以及证明刚性等。这些问题的解决将会为非线性扩散方程的研究提供新的观点和方法以及为概率论与几何偏微分方程等学科建立更加紧密的联系。

最优传输和泛函不等式是概率论中两大重要且热点研究方向，熵是一个基本的科学概念，与偏微分方程，几何分析，信息论等学科关系密切。本项目主要研究与非线性扩散相关的熵及其在最优传输和泛函不等式中的应用。项目负责人在项目立项研究的三年里，在相关数学杂志发表8篇论文，其中有5篇SCI检索，此外还有4篇论文在投。主要结果分为四个方面：1)得到了满足CD(K,m)条件的黎曼流形上多孔介质方程的W-熵公式与微分Harnack估计，证明了带对数项的p-Laplace型抛物方程的梯度估计；2)证明了紧致黎曼流形上沿着p-热方程的p-Shannon熵幂和沿着双重非线性扩散方程的p-Renyi熵幂的凹性，作为应用，给出了欧氏空间中最优L^p-Sobolev不等式, L^p-Nash不等式，L^p-Log-Sobolev不等式以及L^p-Gagliardo-Nirenberg不等式的新的证明；3)利用非线性流和p-Bochner技术证明了n维紧致黎曼流形上带有幂指数项的p-Laplace方程和指数项的n-Laplace方程的刚性；4)得到了黎曼流形上的L^q-Wasserstein空间中沿着非线性测地流的W-熵单调公式与p-Shannon熵幂的位移凹性。以上这些问题的解决对流形上的非线性扩散，L^p-泛函不等式以及更一般Wasserstein空间上的最优传输理论的研究有重要帮助。