针对时空同时调制复杂浅水波类模型的解析和数值研究

Shallow water wave, in which the water depth is small compared with the wavelength, can be described by the KdV or KP model. Solitary wave, a special kind of water wave, has been studied since it can destroy offshore structures with big amplitude and velocity. Under investigation in this project are the complex shallow water wave type models with the temporal and spatial nonuniformities through the analytic and numerical methods. The originalities can be concluded as : ① The complex variable coefficient model such as the forced KdV model will be solved analytically. The characteristic line method will be applied to discuss the effects of the forced term with the temporal and spatial nonuniformities on solitary wave velocity, amplitude and width. The numerical method will validate the stability of solution and dispersion managements of solitons. ② Shallow water wave characteristic for the (2+1)- dimensional model will also be analyzed. Effects of the wave number and variable coefficients with the temporal and spatial nonuniformities will be investigated via the asymptotic analysis. ③ Based on the features of flow, the shallow water wave model might be established under the assumptions that the flow over an obstacle is high-dimensional, and the depth is variable. The wave motion feature and potential application will be discussed.

水深与波长之比是个小量的水波称之为浅水波，这类波动可由KdV、KP等模型描述。孤波是浅水波动的一种特殊形式，因其具有振幅越大运动越快的特点，对近海结构等有一定的破坏性，对其的研究也日益受到重视。本项目以时空同时调制的复杂浅水波类模型为研究对象，综合利用解析和数值方法加以研究，主要创新点包括以下三个方面：① 解析求解时空同时调制的复杂变系数模型（如含外力项的KdV模型），基于特征线方法研究时空同时调制的外力项对孤波速度、振幅、宽度等的影响。数值求解相关模型，验证解的稳定性，利用色散管理的概念讨论波动特点。② 研究(2+1)维时空同时调制浅水波类模型的波动特点,利用渐近分析，研究波数和时空同时调制的变系数对孤波相互作用模式的影响。③ 根据流动特点，尝试建立在水深可变有障碍物时的高维浅水波动模型，讨论其波动机制及潜在应用。

浅水波是指水深与波长之比是个小量，这类波动可由KdV、KP等模型描述。当水深可变时，对应的是时空同时调制的复杂浅水波类模型。孤波作为浅水波动的一种特殊形式，因其振幅越大运动越快，对近海结构等有一定的破坏性，对其的研究也日益受到重视。本项目以时空同时调制的复杂浅水波类模型为研究对象，主要创新点包括：①研究了(2+1)维KP模型的Painleve可积性，构造了其多孤子解。不同于常见的直线孤子，通过一个约束构造了抛物线孤子，保证其除了在特征线上均衰减。计算过程中引入一个任意函数使得孤子速度、宽度、振幅、背景关联起来，而抛物线孤子的产生依赖他们的平衡。在不同波数下展示了抛物线孤子的弹性相互作用、非弹性相互作用及孤子共振。与平常的自治KP方程不同的是，这里的大振幅波存在时间是短暂的，“生存”时间与可变函数的形式相关，这更接近于现实中观测到的畸形波②在系数约束条件下，构造了时空同时调制的受迫KdV模型的双线性形式，发现由于空间不均匀性的存在，非线性系数也能影响孤子宽度和振幅。非线性隧道效应是振幅的一种特殊状态，是指振幅可以被放大或压缩，可视作一种变系数效应。研究发现不同的时空变系数形式可以分别控制非线性隧道效应的放大/压缩高度、位置和分开距离③利用有限差分法和谱方法讨论了变系数和初始条件对孤子速度、宽度、振幅的影响，借助色散管理的概念展示了不同的孤子传播和相互作用模式。