流-流耦合模型分裂时间步解耦算法的研究

The fluid-fluid interaction models (fluid-fluid coupling models) are composed of different fluid equations in two adjacent regions with the appropriate interface conditions. They can describe many phenomena in our real world, such as atmospheric ocean circulation, turbulence and so on. The difficulties for solving these models are coming from the multi-physical coupling and nonlinearity of the interface conditions. Thus, their decoupled algorithms and the corresponding numerical analysis have become a hot topic...In this project, we focuse on three unsolved problems of the partitioned time stepping methods for a class of unsteady fluid-fluid coupling models (two coupled Navier-Stokes models, NS-NS). Firstly, for the model with linear interface conditions, we use negative norm technique and Hahn-Banach theorem to prove the optimal error estimates of the first-order partitioned time stepping scheme. Secondly, for the model with nonlinear interface conditions, by adopting the fixed point theorem and negative norm technique, we try to solve the open question : stability and optimal error estimates of the first-order partitioned time stepping scheme for the model. Thirdly, we try to construct high-order partitioned time stepping schemes for the two coupled Navier-Stokes models by the implicit\explicit time discrete schemes.

流体-流体相互作用模型(流-流耦合模型)是由相邻两区域中不同的流体方程结合适当的交界面条件构成的复杂系统。该系统可以描述大气海洋环流、湍流运动等现象，面临多物理耦合及非线性等难点。因此，其高效的解耦算法和相应的数值理论成为研究热点。.本项目围绕一类非定常流-流耦合模型(两耦合Navier-Stokes模型，NS-NS模型)分裂时间步解耦算法中三个尚未解决的问题进行研究。第一．针对具有线性交界面条件NS-NS模型，利用负范数技巧以及泛函延拓定理，研究一阶分裂时间步解耦算法的最优误差估计。第二．针对具有非线性交界面条件的NS-NS模型，利用不动点原理和负范数技巧等方法，研究该模型一阶分裂时间步解耦算法的稳定性以及算法的最优误差估计。第三．采用高阶的隐式\显式时间离散格式，构造NS-NS模型的高阶分裂时间步解耦算法。

在现实生活中，许多复杂的物理现象是由分布在不同区域，多个物理场相互叠加而形成的。利用耦合算法模拟这一类现象会导致计算规模较大、计算效率低。因此，提出高效解耦算法是十分必要的。.本项目针对流-流耦合模型、Navier-Stokes-Darcy-Boussinesq模型以及Stokes-Darcy模型提出高效的计算方法并建立相应的数值理论分析。第一，利用分裂时间步的思想，设计流-流耦合模型分裂时间步解耦算法；结合不动点原理、归纳法以及能量估计等方法，给出算法新的稳定性分析结果。第二，建立定常Navier-Stokes-Darcy-Boussinesq模型完整的数学以及数值理论体系。首先我们利用粘性消失法以及不动点原理证明了Navier-Stokes-Darcy-Boussinesq模型弱解的存在性和唯一性；进一步利用迭代的思想以及有限元方法，设计模型高效解耦算法，并给出算法稳定性和收敛性分析。第三，针对Stokes-Darcy模型，利用局部并行算法的思想以及单位分解函数，设计出Stokes-Darcy模型可拓展的局部并行算法，给出算法完整的数值理论分析。第四，探讨了非定常Navier-Stokes-Darcy-Boussinesq模型分裂时间步解耦算法的数值污染问题。从理论上证明了当使用匹配有限元时，算法是不会产生数值污染的。.我们已经基本完成项目中所列研究内容。目前由项目支撑所公开发表SCI论文5篇。其中计算数学顶级期刊1篇，二区以上论文3篇。.本项目综合了数学、流体力学以及工程应用方面的背景知识，所研究的内容涉及面广、应用背景强、有一定的难度。项目中提出的若干类高效算法具有在地热能开采、污水处理、石油开采、合金重铸等方面应用前景。