正维多项式系统解的RUR实用算法及应用

Both algebraic varieties in theoretical mathematics and parametric polynomial systems in practice can be considered as positive dimensional polynomial systems, which are usually transferred to simpler polynomial or other systems in previous literature. We have proposed a rational univariate representation (RUR) method for coordinate components of the solutions of positive dimensional polynomial systems before, but it is too heavy for application. In this project we will combine RUR theory and rational interpolation approximation to give a practical algorithm for rational univariate representation of positive dimensional polynomial systems, in which the solutions are represented as coordinate components whose forms are more convenient for investigating positive dimensional algebraic varieties as well as parametric polynomial systems. Also, our method will convey an idea for obviating expression swell in symbolic computation when input and output data are all rational functions.

数学理论中有关代数簇的研究与工程实践中含参多项式系统都可以视为正维多项式系统。以往处理正维多项式系统的方法都是将其转化为更简单的多项式系统或其他系统。 我们曾经提出过正维多项式系统解的坐标分量的有理单变量表示（RUR）方法，但是由于计算量过大而不实用。本项目将结合这种RUR理论与有理插值逼近，给出一种计算正维多项式系统有理单变量表示的实用算法，将解以坐标分量形式表达出来。这种解的表达方式对于正维代数簇理论的某些研究与含参多项式系统求解使用更为方便。同时我们的方法也为解决输入输出数据均为有理函数的符号计算数据膨胀问题提供一种思路。

本项目主要研究正维多项式系统解的RUR表示的同态像计算方法。同态像方法的基本思想是将RUR理论与有理插值逼近的方法相结合，先构建正维多项式系统的一系列零维同态像，然后利用零维理想的相关方法计算出同态像的RUR，再利用有理插值将这些同态像RUR恢复为正维多项式系统的RUR。同态像方法的优势是可以将运算仅仅限制在数域K上，避免了原有的RUR表示理论中需要在有理函数域K(U)上进行运算的不足，进而可以快速求得正维多项式系统解的有理表示集。同态像方法的理论包含了零维理想的RUR表示、高维理想的RUR表示同态像的构造以及有理函数恢复等三部分内容。在零维理想的RUR表示方面，我们对Rouillier 的工作给出了进一步的改进与完善。①对于理想宽度为一的情形，我们给出了分离元新的检验算法，并提出了解的PUR表示的更高效的算法。②对一般情形的零维系统，我们提出了PUR表示的线性方程组直接求解方法。在高维理想的RUR表示方面，我们给出了正维理想的简化有理表示方法：在正维理想的有理表示算法中，我们去掉了原有有理表示集中一些不必要的计算，降低了计算复杂度，并将简化后的算法应用到SHEPWM问题中。在有理函数恢复方面，我们研究了有关有理恢复的三类问题：①一般的有理函数恢复问题，②向量值有理函数恢复问题，③预知分母因子部分信息的有理函数恢复问题，对于问题①，我们建立了递推型有理插值算法用来恢复有理函数。对于问题②，我们利用向量的各分量之间存在某种联系，构造向量值有理函数恢复算法。对于问题③，针对这类问题特性，我们建立了试探性方法，用来恢复有理函数。此外，在符号计算理论中，数据膨胀这一瓶颈限制了多项式系统处理实际问题的规模，为了克服这一缺陷，人们设计出各种数值计算方法，随之而来的“数值解”的可信程度也是我们关心的对象。多项式系统也是非线性系统，因此本项目还对非线性系统数值解的可信验证问题做出了相关研究。