关于Hadamard群的研究

The Hadamard group is original from research on Hadamard matrix. In 1867, Sylvester studied the matrices with entries in {−1, 1} such that any two distinct rows have inner product 0. In 1893, Hadamard proved that the order of such matrix was 1,2 or a multiple of 4, which was called Hadamard matrix. Conversely, Hadamard conjectured that if n is a multiple of 4, then there exists an Hadamard matrix of order n. By far it is still open. In 1994, Ito gave a definition of Hadamard groups: Let G be a finite group with the central element -1 of order 2. We call G an Hadamard group if there exists a transversal D of the subgroup〈-1〉in G such that the equlity |D∩Dx|=|G|/4 holds for all elements x outside {1,-1}. He also proved that the Hadamard matrix of order 4n existed if there was an Hadamard group of order 8n. After that Ito conjectured the groups G(n)=〈a,b|a^{4n}=1,a^{2n}=b^2, a^b=a^{-1}〉were Hadamard for all n. The project will fist focus on the relation between extension functions and Hadamard groups. We give an equivlent condition to find out the Hadamard subset by using of a distribute lattice of the integer ring. Then we will use this equivlent condition to research Ito's conjecture and classify the structure of Hadamard groups, which is the method that other researchers don't use before.

Hadamard群的研究源于研究Hadamard矩阵，即满足所有不同行的内积为0的{1,-1}-矩阵。1893年Hadamard证明了这种矩阵的阶必然为1,2或者是4的倍数, 后称这类矩阵为Hadamard矩阵。反之， Hadamard曾猜想：如果n为4的倍数，则一定存在n阶 Hadamard矩阵。此猜想至今未解决。1994年Ito给出Hadamard群的定义(见正文)，并证明了如果存在8n阶Hadamard群，则存在4n阶的Hadamard矩阵。之后, Ito猜想群G(n)=〈a,b|a^{4n}=1, a^{2n}=b^2, a^b=a^{-1}〉为Hadamard群。本项目研讨Hadamard 群与扩张函数之间的关系，得到了一个新等价条件，将寻找Hadamard 子集问题转化为整数上的分配格的问题，由此研究Ito 猜想及其Hadamard 群的结构分类，这是其他学者没有尝试过的方法。

Hadamard群的研究源于研究Hadamard矩阵，即满足所有不同行的内积为0的{1,-1}-矩阵。1893年Hadamard证明了这种矩阵的阶必然为1,2或者是4的倍数, 后称这类矩阵为adamard矩阵。反之， Hadamard曾猜想：如果n为4的倍数，则一定存在n阶 Hadamard矩阵。此猜想至今未解决。1994年Ito给出Hadamard群的定义，并证明了如果存在8n阶Hadamard群，则存在4n阶的Hadamard矩阵。之后, Ito猜想群G(n)=〈a,b|a^{4n}=1,a^{2n}=b^2,a^b=a^{-1}〉为Hadamard群。本项目研讨Hadamard 群与扩张函数之间的关系，由此研究Ito 猜想及其Hadamard 群的结构分类。 主要取得了如下三个方面的进展：. 1.刻画了Hadamard群。. Hadamard 群是一类 2 阶中心扩张的群 G，并且存在二阶中心子群的某个陪集代表元集合 D，使得对于所有二阶中心子群外的元x，都有|D∩Dx|=|G|/4.此时D称为 Hadamard子集。我们找出了 Hadamard 群关于扩张函数的等价条件。. 2.找出了循环差集的一个充分必要条件。. 循环差集是一类与Hadamard子集有着重要联系的差集。一个(v,k,λ)-循环差集D={d1,d2,...,dk} 是k个不同的模v的剩余组成的集合，对任何一个模不同余0的数, 同余方程di-dj≡d都恰有λ组解(di,dj)，其中都属于D.我们定义D-循环序列和D-长度循环序列，得出了循环差集存在的一个充要条件。. 3.研究了图、子群极其循环子群的个数对Hadamard群结构的影响。. 群构造的图的结构与群本身结构有着很重要的联系。研究了对称图通过传递群的奇扩张，并得到了完全分类。考虑了非交换子群都为TI子群或者次正规子群的群的分类，证明了非幂零极大子群都正规的群必然具有Sylow塔，研究了具有次数为7的可解截断的本元置换群的分类。另外还考虑了循环个数对群结构的影响，完全分类了循环群个数对群的阶的比例为3/4的完全分类。这些结果都对分类Hadamard群起到了重要的作用。