一类奇异扰动偏微分方程组及其极限问题的研究

The phase separation phenomena in binary Bose-Einstein condensation and the study of dynamics of strongly competing species from population dynamics pose a new kind of problem in singularly perturbed nonlinear partial differential equations.In this project we systematically investigate these singular perturbation problems and some related free boundary problems. In particular, we plan to study the following problems: (1) the Gamma convergence problem for a singularly perturbed parabolic system and the dynamics of strongly competing species system; (2) the partial regularity problem for free boundaries in the singular limit, including the asymptotic behavior of solutions and free boundaries near the singular point; (3)the problem of entire space solutions to a related elliptic system, including the construction of solutions having a polynomial growth, the De Giorgi type conjecture for solutions with linear growth and the generalized Liouville type theorems. Besides developing new techniques in the theory of singularly perturbed nonlinear partial differential equations and free boundary problems, this project could help us to get better understanding of the phase separation phenomena in physics and biology.

在 Bose-Einstein 凝聚态和生物数学中的竞争模型里，都可以观察到所谓的相位分离现象。这类现象可以由一类奇异扰动偏微分方程组及其极限中的自由边界问题描述。本项目将主要研究这类奇异扰动问题及相关的自由边界问题。特别地，我们计划研究：（1）一类奇异扰动抛物方程组的Gamma 收敛问题，以及强竞争系统的动态性质问题；（2）奇异极限中自由边界的部分正则性、解及自由边界在奇点处的渐近性质等问题；（3）一个相关的椭圆方程组全空间解的问题，包括具有多项式增长阶的解的构造、具有线性增长阶的解的 De Giorgi 型猜想，以及更一般的广义 Liouville 型定理等问题。本项目的研究除了会在非线性偏微分方程的奇异扰动问题和自由边界问题方面发展新的技巧和方法之外，对更好地理解物理和生物中的相位分离现象也是非常有帮助的。

在 Bose-Einstein 凝聚态和生物数学中的竞争模型里，都可以观察到所谓的相位分离现象。这类现象可以由一类奇异扰动偏微分方程组及其极限中的自由边界问题描述。本项目主要研究了这类奇异扰动问题及相关的自由边界问题。特别地，（1）我研究了不同物种具有不同扩散系数的生物竞争方程组，刻画了其奇异极限问题，并由此得到了强竞争情形解的若干动态性质；（2）我研究了Gross-Pitaevskii方程组全空间解的分类问题，并完全解决了关于该方程组的De Giorgi型猜想；（3）我研究了分数阶 Gross-Pitaevskii方程组的分类问题，并得到了一维解的唯一性。在解决上述问题的过程中，一种新的、基于能量方法的平坦性改进估计被发展起来。该方法使得我们可以利用大尺度上的信息得到解在小尺度上的性态，并由此得到诸多关于椭圆型偏微分方程解的刚性结果。特别地，利用此方法，我重新证明了Savin 关于Allen-Cahn方程De Giorgi猜想的一个著名结果。