自由曲面的T样条表示：理论与在曲面重建中的应用研究

T-splines is a new spline surface technology which can overcome many drawbacks of the traditional NURBS surfaces by allowing T-junctions in its control grid. Based on T-splines, this project aims to look into the problem of representing free-form surfaces, which is one of the most fundamental problems in computer aided geometric design. 1) This project investigates some fundamental algorithms of T-splines, including adaptive-reconstruction-suitable T-spline control point insertion, approximate T-spline control point removal, bi-directional periodic T-splines, and T-spline surface scheme for shapes of arbitrary topology. 2) This project explores the use of T-splines in surface reconstruction, in the aspects of a method of effective T-spline surface reconstruction of arbitrary topology, a method of single patch T-spline surface reconstruction for closed shapes of genus 1, and a method for consistently reconstructing multiple surfaces. The novelties of this project lie in the generalization of some current T-spline fundamental algorithms, and a number of new approaches for T-spline surface reconstruction. This research effort will benefit the applications in the areas such as the cultural and creative industries and the aircraft/vehicle/ship manufacture.

T样条是一种新型的样条曲面技术，它突破传统限制，允许控制网格中存在T-junction控制点。本项目围绕T样条探索计算机辅助几何设计中的一个基本问题，即对自由曲面的表示。1）项目将研究T样条的若干基础理论和算法，包括适合自适应曲面重建的T样条控制点插入、近似的T样条控制点移除、双向周期的T样条曲面表示、任意拓扑的T样条曲面方案。2）在曲面重建方面，将研究运用T样条实现对任意拓扑自由曲面的有效重建、基于单片T样条重建亏格为1的封闭自由曲面、实现T样条对多个自由曲面的协同重建。本研究的创新之处在于对T样条若干基础理论和算法的拓展和推广，以及多项关于T样条自由曲面重建的新方法。研究成果在文化创意产业和航空、汽车、船舶建造领域有广阔的应用前景。

样条曲线和曲面是一种重要的几何造型方式，在工业设计、影视动画制作、生物医学等多个领域都有广泛的应用。T-样条是近年来一种新型的样条曲面技术，它突破传统限制，允许控制网格中存在T-junction控制点。T-样条的灵活性使得它在表示自由曲面时具有相当的优势。.本课题具体从以下若干问题探索了T-样条及其他样条曲线曲面的应用：1）在T-样条的表示中引入作用力，提出基于物理的动态T样条曲面，并基于拉格朗日动力学建立了该曲面的运动方程。提出了一种导出拉格朗日动力学方程的解析解的方法。相关理论可以支持实时、便捷的交互式三维曲面造型编辑。2）在神经科学领域背景下，研究了使用Catmull-Rom插值样条对神经元形态结构进行拟合的方法。方法得到的结果，可以更加平滑和精确的表示神经元结构，同时也具备更简洁的表示形式。3）研究了三角网格模型在隐蔽通信中的应用。提出了一系列在三角网格模型中隐蔽的嵌入秘密数据的方法。得到的结果可以进一步转化为样条模型，增加安全性。.在课题执行过程中，取得的成果包括一系列原型算法和学术论文等。同时，在项目的资助下也多次参加了相关学术会议，与领域内的研究人员进行了深入的交流。研究思路和成果可以为样条曲线曲面在多个领域的应用问题提供借鉴，具有一定的理论意义和应用前景。同时，相关问题仍然值得进一步展开后续研究，具有一定的研究价值和前景。