基于信赖域的非线性方程组的无导数方法：理论、算法及应用

非线性方程组广泛存在于科学计算、工业工程等领域。在经济、物理、化学等领域中出现的非线性方程组，函数值经常是从试验中测量得到的或是通过模拟得到的，几乎不可能有精确的函数导数信息。因此构造有效的非线性方程组的无导数方法不仅在理论上有着重要意义，而且在实际领域中有着广泛的应用。本项目拟研究以下几个方面的课题：1. 结合非线性方程组的结构，利用信赖域技巧构造全局收敛的无约束非线性方程组的无导数LM算法，讨论算法在弱于非奇异性的局部误差界条件下的收敛速度。2. 给出盒子约束非线性方程组的无导数投影LM算法和无导数信赖域算法及线性约束非线性方程组的无导数信赖域算法，尝试选择不同的LM参数和信赖域半径，研究算法的收敛性。3. 研究一般约束非线性方程组的无导数信赖域算法及收敛性，为实际运用提供理论保证。4.网上提供上面所有算法的程序包，供人下载、测试和使用，解决实际领域中出现的无导数非线性方程组问题。

非线性方程组广泛存在于工业工程、经济等领域。构造有效的非线性方程组的数值解法既有重要的理论意义又有广泛的实际应用。本项目按照预期计划主要研究了以下几方面的内容：1. 我们提出了改进的LM算法，每次迭代计算一个LM步，并利用已计算所得的导数矩阵计算一个近似LM步。基于信赖域技巧，我们提出了全局收敛的改进LM算法，在局部误差界条件下证明了算法的三阶收敛速度。进一步，我们提出了多步LM方法，每次迭代计算一个LM步，m-1个近似LM步，多步LM方法在局部误差界条件下m+1阶收敛。上述方法大大减少了Jacobian 矩阵的计算量和总计算量。2. 许多非线性互补问题和变分不等式问题可转化为单调非线性方程组问题。我们给出了单调非线性方程组的修正正则化Newton法，讨论了其在局部误差界条件下的收敛速度及在具有奇异解的无约束凸优化问题上的应用。3. 我们还提出了改进的信赖域算法，每次迭代计算一个信赖域步，再计算一个近似信赖域步，算法在局部误差界条件下几乎三阶收敛，能很好的减少Jacobian矩阵的计算量。4. 实际领域中许多问题是约束非线性方程组问题。我们给出了凸约束非线性方程组的约束LM方法和投影LM方法。5. 我们给出了界约束非线性方程组的无导数LM方法，根据最小二乘问题的结构构造了插值多项式模型，并利用信赖域技巧保证算法的全局收敛性。此外。我们还彻底解决了完全正矩阵的填充问题。完全正矩阵的填充是矩阵论领域的一个公开问题。我们从多项式优化的角度，给出了一个半正定算法，能够判断一个偏矩阵是否可填充为完全正矩阵，特别的，如果能填充为完全正矩阵，我们不仅能给出一个填充矩阵，并能给出一个分解。我们还讨论了完全正矩阵锥的内点问题。我们从最优化的角度刻画了完全正矩阵锥的边界点和内点的充分必要条件。给出了两个半正定算法来判断一个矩阵是否为完全正矩阵，如果是的话，进一步判定其在完全正矩阵锥的边界上还是内部。特别的，如果在完全正矩阵锥的内部，我们能分别给出Dur和Still形式的分解，和Dickinson形式的分解。另外，我们还提出了单调正矩阵。单调正矩阵及其分解在顺序统计中具有广泛的应用。我们给出了一个半正定算法判定一个矩阵是否为单调矩阵，若是，则给出单调正分解。上述结果丰富了非线性方程组理论和完全正优化理论，为实际领域提供了求解奇异非线性方程组和完全正矩阵分解的新算法。