张量的分解、低秩逼近及其应用

The decomposition of matrix is the important part of matrix theory, has the rich theoretical results and important applications. Due to the need from information technology such as compress sense, the low-rank approximation of matrix has been payed great and wide attentions in the academic area as well as engineering technology field, and has been rapidly developing. The decomposition of tensor and the low-rank approximation of tensor are the further development of those in matrix cases, this study is not only from the need of further development in theory, mainly, but also from the need and drive of various real problems, particularly more and more and complex datas and messages from many aspects make it necessary to use tensors to express these data which is natural and convenient. Meanwhile some new problems such as the deposits, transpose and analysis of data arise. Just like in matrix, the decomposition and low-rank approximation of tensor are certainly the important methods to treat these problems. This proposal aims to study theory, algorithms ofthe decomposition and low-rank approximation of tensor and their applications.

矩阵分解是矩阵理论中的重要内容，已有丰富的理论结果和重要应用。矩阵低秩逼近在过去的10多年中，由于压缩感知等信息技术领域发展的需要，受到学术界和工程技术领域的广泛重视，并得到快速发展。张量分解和张量低秩逼近是矩阵分解和矩阵低秩逼近的进一步发展，这方面的研究和发展，不仅是来自理论上进一步推广和发展的需要，更主要是由于实际问题的需要和驱动，特别是当今各领域越来越大的复杂的数据和信息，使得用张量表述这类数据更加便捷和自然，这样也带来了张量数据的存储、传输、分析等一系列问题，正如矩阵那样，张量的分解和低秩逼近也是处理这些问题的重要方法。本项目就是计划开展张量分解和张量低秩逼的理论、算法和应用方面的研究。

在当今大数据时代，来自科学、工程技术、商业、人们日常生活等领域的数据呈现出规模巨大、结构复杂的趋势。这些数据的表示、存储、传输、分析等等，都是十分重要的。就目前来看，张量是表示复杂高维数据的合适方式，而对一般张量数据进行分解，用简单的低秩张量去近似，是十分重要的研究课题。研究不同结构的张量的分解、用秩1的张量逼近复杂的张量是其中基本也是核心的问题，这对求秩2秩3等低秩逼近问题也是基本的问题。本项目主要成果主要在相应的优化问题的各种性质及算法。我们已经发表的成果可大致归为如下四个方面：.1、张量特征值互补问题的理论和算法。这方面的工作推广了矩阵特征值互补问题的几个性质和算法到对称张量情形，并对用平移幂法和投影梯度法求解问题时的收敛性进行了分析，并通过数值实验说明了算法的良好效果。.2、二次矩阵系统的择一性的推广。我们把重要的Yuan引理推广到一类四阶张量系统，并由此证明了一类四阶张量优化问题的强对偶性。这个理论结果对求解这类问题的整体最优解提供了理论依据。.3、不精确交替方向乘子法(ADMM)和加速技巧。ADMM是近些年优化领域很受关注的一个研究方向，不断有新的工作出现。我们的工作之一是研究了其中子问题不精确求解时，解的收敛性的确定，并通过丰富的大规模的例子，说明了算法的有效性；另外一个工作是采用加速技术，对子问题可精确求解时，说明由此可提高算法速度。.4、一类结构张量的性质。讨论了Cauchy-Hankel张量的H-特征值的几条性质，并对这类张量的H-特征值给出了更紧的上下界。