基于高效蒙特卡罗策略的最优化方法及应用研究

Monte Carlo methods is one of the important research topic in the statistical community today. Since Monte Carlo methods are not sensitive to the data dimension, more and more attention has been drawn to using the Monte Carlo methods to analyze high dimensional data. Our project is committed to research and design efficient Monte Carlo methods and their applications in the optimization problems in high dimensional data analysis. The main contents are as follows: Firstly, combining with various acceleration strategys, such as Multi-try Metropolis improved algorithm, non-reversible Markov Chain Monte Carlo, adaptive algorithm, we design efficient Markov Chain Monte Carlo methods to adapt the high-dimensional data, and improve the computational efficiency. Secondly, combining with these efficient Monte Carlo methods, we use simulated annealing algorithm to find the larger average submatrices in high dimensional matrix, then compare the efficiency improvement of the simulated annealing algorithm with that of some existing algorithms through real and simulated data examples. Thirdly, efficient Monte Carlo methods are used in the approximate computation of statistical depth. The research and improvment of Monte Carlo methods and their efficient applications in the analysis and computation of the optimization problems, not only promote the theory development of the applications of optimization methods in high dimensional data analysis, but also provide guidance to the theory of efficient Monte Carlo methods.

蒙特卡罗方法是当今统计界重要的研究课题之一。由于蒙特卡罗方法对数据维数不敏感，使得用蒙特卡罗方法分析高维数据越来越引起人们的关注。本项目致力于高效蒙特卡罗方法的研究和设计，及其在高维数据的最优化问题中的应用。主要研究内容为：首先，在综合改进多测试Metropolis算法、不可逆马尔科夫链蒙特卡罗方法、自适应算法等多种加速策略的基础上，设计高效的马尔科夫链蒙特卡罗方法，使之适应于高维数据的同时并提高计算效率。其次，在上述高效蒙特卡罗方法的基础上，应用模拟退火算法寻找高维矩阵中较大平均值子矩阵，通过真实数据和模拟数据的例子比较模拟退火算法同已有算法的效率改进。最后，本项目还对高效蒙特卡罗方法在统计深度近似计算进行研究。研究并改进蒙特卡罗方法并高效的应用于最优化问题的分析和计算，不仅可以推进最优化方法在高维数据中的应用，同时还可以丰富高效蒙特卡罗方法的理论研究内容。

随着计算机技术的迅速发展及大数据时代的到来，人们面临越来越多的多维数据。作为处理多维数据的有效工具，蒙特卡罗方法越来越引起人们的关注，并成为当今统计学研究的重要课题之一。本项目主要研究了高效蒙特卡罗方法的设计及在一些统计模型中的应用。具体研究内容如下：首先，在蒙特卡罗方法的设计和收敛性分析方面，本项目将多测试Metropolis算法同模拟退火算法结合，得到多测试模拟退火算法。新算法在保证全局最优解的同时可以采用更快的降温格式。另外在生物模型的蒙特卡罗模拟过程中，项目将算法收敛性问题转化为转移矩阵第二大特征值的求解，并给出分析结果。其次，在统计深度的近似计算方面，本项目将蒙特卡罗方法及改进的模拟退火算法应用于半空间深度的计算，并通过真实数据和模拟数据的例子展示了新算法相比较传统算法的优势。最后，在蒙特卡罗方法的应用及实证方面，本项目将随机计算方法应用于遗传数据分析及管理风险中统计模型的研究，得到了较准确的参数估计结果和更可靠的因素相关性分析。