高效蒙特卡洛方法及在高维数据分析和计算中的应用

The research Monte Carlo methods is an important research topic in the statistical community, and has received more and more attention in recent years. With further research and application of high dimensional data analysis, the traditional computing methods are difficult to adapt to the characteristics of high-dimensional data (Dimension of inflation). Since the Monte Carlo methods is not sensitive to the dimension of data, our project study the design of efficient Monte Carlo methods, and the pplication to the analysis and computation of high dimensional data. First, in the study of algorithms, combining with ultiple-Try Metropolis algorithm and irreversible Markov chain Monte Carlo method, we improve the convergence of the Monte Carlo ethods.Then, in the study of application, combining with the efficient Monte Carlo methods, we use the simulated annealing lgorithm to analize the correlation of sample-variable in high dimension data and to compute statistical depth. Finally, through real and simulation data example, we analize the the efficiency of the improved methods. In high dimensional data analysis, the study of efficient Monte Carlo mothods not only provides an effective computing tool for high dimensional statistical models, but also complement and improve theoretical research of the Monte Carlo methods.

蒙特卡洛方法的研究是统计界重要的研究课题之一，近年来越来越受到广泛关注。随着高维数据分析的深入研究和应用，传统的计算方法难以适应高维数据的特点(维数膨胀)。针对蒙特卡洛方法的数据维数不敏感性，本项目研究设计高效的蒙特卡洛方法，并应用于高维数据的分析和计算。首先，在算法研究方面，通过结合多测试Metropolis算法和不可逆马尔科夫链理论改进蒙特卡洛算法收敛效率。然后，在应用方面，将高效的蒙特卡洛方法同模拟退火算法结合应用于高维数据样本-变量相关性分析及统计深度的计算。最后，通过真实和模拟数据的例子，分析算法效率的改进。高维数据有效地蒙特卡洛计算方法的研究，不仅给高维数据统计模型提供有效的计算工具，同时也是蒙特卡洛方法理论研究的有益补充和完善。

随着二十一世纪计算机技术的迅猛发展，人们越来越多地掌握金融数据、基因数据等高维复杂数据。而传统的定量分析模型和数值计算方法，在分析和计算这些高维数据时，面临“维数灾难”问题。蒙特卡洛方法关于数据维数的不敏感性，使得该方法成为高维复杂数据分析的最重要计算工具，并在金融学、遗传生物学、工程技术、经济学和计算化学等很多领域有广泛的应用。然而在实际应用过程中，蒙特卡洛方法方法的选择至关重要。一个好的蒙特卡洛方法可以高效准确的得到计算结果，相反可能会得到错误的结果。本项目主要研究了高效蒙特卡洛方法的设计及在高维数据分析和计算中的应用。首先，我们给出一种跳跃建议Metropolis-Hastings算法，并将其应用多维多峰的贝叶斯后验分布的计算，数值模拟结果显示，改进的Metropolis-Hastings算法相比较经典的随机游走Metropolis算法有更高的效率和精确性。其次，我们将高效的蒙特卡洛方法同模拟退火算法结合，用于全局最优化问题的计算，给出了一种半空间深度的近似算法，并通过真实数据的半空间深度计算，展示了该近似算法的优势。最后，作为进一步的工作，我们还给出了蒙特卡洛方法在非参数统计、假设检验和最优化等问题的一些应用。高效蒙特卡洛方法的设计及在高维数据分析和计算中的应用研究具有较大的统计理论意义和实际应用价值，也为大数据时代，设计高效计算方法提供理论支持。