高维随机矩阵在因子模型中的理论研究与应用

The high dimensional factor models are widely used in the financial market. While most of applications based on factor models implicitly assume that the structural of financial market is stable. Therefore, it is necessary to make a diagnosis and statistical analysis of the stability of the high dimensional factor model in the financial market. Based on the random matrix theory, we develop tests for structural changes in high dimensional factor models under high dimensional framework (i.e., when the dimension and sample size tend to infinity with the order). We will show the following three kinds of results of our project: (1) tests for structural breaks in high dimensional factor models based on low frequency data; (2) tests for structural breaks in high dimensional factor models based on high frequency data; (3) based on the above results, we propose an estimator of the underlying integrated volatility matrix which is not only a consistent estimator but also it achieves the minimum risk of Markowitz portfolio. In particular, taking into account that the structural changes can happen in many ways, we will consider the factors and loadings as a whole and develop tests for structural breaks in factor models from the perspective of relationships between the spiked eigenvalues and eigenvectors of population covariance matrices with factors and factor loadings. Further we will provide an guidance on how to detect the source of structural changes.

高维因子模型在金融市场有着广泛的应用。但是绝大多数基于因子模型的应用都是建立在市场结构稳定的基础上。因此对金融市场高维因子模型是否存在结构变化做出诊断是十分必要的。本项目将以随机矩阵为理论基础，在高维框架下（即样本维数与样本量同阶趋于无穷时），对因子模型结构的稳定性提出检验，其中包括如下三个方面：（1）基于低频金融数据，提出因子模型结构变动的检验统计量；（2）基于高频金融数据，提出因子模型结构变动的检验统计量；（3）基于以上的统计分析基础，在模型结构稳定的时间期间内，提出积分波动率的相合估计，并保证此估计量在马克维茨投资组合中可以达到最小风险。特别地，考虑到市场结构发生变动的原因可以是多方面的，因此我们将在不区分因子与因子载荷的情况下，从它们与总体协方差矩阵离群特征根和特征向量关系的角度出发，提出因子模型结构变动的检验统计量，并进一步推断市场结构发生变动的来源。

因子模型在统计学和计量经济学领域一直具有十分重要的核心地位，特别是在量化投资方面起着关键的作用。此外，由于信息技术的飞速发展，我们可以从金融市场上获取高频或超高频交易数据。与低频数据相比较，高频数据有其自身的特征，例如高频噪声，非同步交易，多重交易现象等。高频数据在给我们提供更多信息的同时也给我们在数据分析方面 提出了很多新的挑战。本项目在以下基础研究方面取得重要结果：（1）高维现象使得传统的统计方法不再适用于高维矩阵估计问题，而且高频金融数据的高频噪声污染更是其不可避免的重要特征之一。我们首次结合了高维矩阵压缩估计方法和一维金融数据去噪声的优势，在市场微观结构噪声下提出了高维积分波动率矩阵的相合估计。 （2）除了高频噪声污染外，金融数据的多重交易现象也是影响高频数据分析的主要原因之一。在多重交易现象下，我们利用随机矩阵理论建立了高维积分波动率矩阵的线性谱极限性质及其估计。特别是我们首次在高维框架下，研究了非同步交易现象对高维矩阵估计的影响。在以上研究的基础上，我们进一步分析了高维波动率矩阵估计在高频量化投资中的统计性质。（3）对于高维因子模型的稳健性研究，我们首先研究了高维随机矩阵的特征向量的统计性质。我们建立了高维特征向量的线性谱统计量的中心极限定理及其在高维矩阵估计和线性回归模型中的统计分析。这为我们下一步高维向量的理论研究奠定了坚实的理论基础。