高维环境中随机核矩阵的谱分析

Recent decades has witnessed a surge of interest in the study of the theory of random matrices. The most developed theory concerns matrices where the matrix entries are either independent random variables, or are taken with a statistical distribution which is invariant under some symmetry group. However, there has been much less theoretical work on random kernel matrices. By this term, we mean n dimensional matrix M with (i, j) entry of the form: M(i, j)=k(x_i,y_j), where x_i,y_j’s are data vectors and k is a function of two variables that may depend on n. .The research is motivated by some practical questions arising in Statistics, Computer Science and Physics where the properties of eigenvalues of random kernel matrices are playing an important role. We study the spectrum of certain random kernel matrices including Hermitian and Non-Hermitian Euclidean distance matrices and inner-product kernel matrices. Their global spectrum and local spectrum will be analyzed in the high dimensional setting. It is expected to obtain the limiting spectral distribution of those important random kernel matrices: Laplacian-type kernel matrices and non-Hermitian Euclidean matrices. We also investigate the local statistics of the eigenvalues, the limit as well as the limiting distribution of the largest eigenvalue. And the universality type questions with respect to different probability distributions for the data points will also be considered.

近几十年来，随机矩阵的理论研究激起了人们的广泛兴趣。对于随机矩阵，比较成熟的理论是那些以独立随机变量为元素，或者是在某些对称群作用下，具有不变性的矩阵。但是，关于随机核矩阵的理论研究相对较少。一个n维的核矩阵M，它的第(i, j)个元素具有如下形式：M(i,j)=k(x_i,y_j)，其中x_i,y_j是随机向量，k是一个二元函数，可能与维数n有关。本项目的研究动机来源于统计、计算机科学以及物理中的一些实际问题，其中随机核矩阵的谱性质起着很重要的作用。我们将要研究某些随机核矩阵的谱，包括对称与非对称的欧几里得距离矩阵以及内积核矩阵。在高维环境下，我们希望得到基于特定数据向量的Laplacian类型的核矩阵以及非对称欧几里得随机矩阵的极限谱分布。同时，对于随机核矩阵的局部谱统计性质、最大特征值的极限以及极限分布将做深入的研究。此外，我们还将考虑关于数据点所具有的各种不同概率分布的普适性问题。

在大数据时代，经常需要面对样本的维数p和样本量n都很大的问题，而核矩阵在物理、多元统计以及机器学习等多个领域都有着广泛的应用。基于此，我们研究了高维环境下随机核矩阵的谱性质，取得了如下主要研究进展：1. 对于不同的数据向量来源，在“大p大n”高维环境下，得到了对称随机核矩阵的经验谱分布函数的极限；2. 在"小p大n"高维环境下，证明了：生成于$l_p$单位球和球面的对称随机核矩阵，经过规范化后，它的极限谱分布为著名的半圆率；3. 在“大p大n”高维环境下，得到了Laplacian 类型的随机核矩阵在谱范数意义下的相合估计，以及极限谱分布；4. 研究了$m$个独立的随机Spherical 系综的乘积，证明了它的极限谱分布是Spherical分布的$m$次幂；5. 得到了随机矩形矩阵的经验谱测度的极限；6.得到了非对称随机线性核矩阵的极限谱分布以及谱半径的极限分布。