几类非线性薛定谔型方程组的几何方法求解及应用

In this project, we will use the differential geometry method to study several kinds of important nonlinear Schrödinger type equations appearing in physics, including coupled non-autonomous nonlinear Schrödinger equation which describe propagation of pulses in birefringent fibers, the Hirota-Maxwell-Bloch equation with self-consistent potentials in Erbium-doped fibers, and the associated Landau-Lifshitz-Gilbert equations with spin transfer torque in spintronics. By utilizing the theory of space curve movement in differential geometry and the theory of symmetric Lie algebra, we will look for their geometrical structure, and then present their exact solutions. Finally, we will give their applications in physics. The expected results are important both in optical fiber communications and in digital information storage and read, especially magnetic storage.

本项目将利用微分几何方法，研究近年来物理学中出现的几类重要的非线性薛定谔型方程组，包括光纤中考虑双折射效应的非自治耦合非线性薛定谔方程组，铒搀杂光纤中的带自相容位势的Hirota-Maxwell-Bloch方程组，以及其相联系的自旋电子学中带自旋矩的Landau-Lifshitz-Gilbert方程组等。通过利用微分几何中空间曲线运动和对称李代数的理论，我们将刻画这些方程组的几何结构，从而进行解析求解，并给出其在物理学中的应用。预期成果对于光纤通讯和数字信息的存储和读取，特别是磁存储有重要意义。

本项目主要做了以下两方面的研究。其一，对于非线性薛定谔型方程相关的几何联系，我们发现耦合向量非线性薛定谔方程组是Fordy-Kulish模型的特殊情形；非自治的NLS-Maxwell-Bloch(NLS-MB)方程的等价模型为扩展的带自相容位势的Landau-Lifshitz-Gilbert(LLG)方程，这些结果对于进一步研究LLG方程的磁孤子解和动力学行为提供了途径。特别地，我们研究了一个跟非自治非线性薛定谔方程相联系的带自旋矩的海森堡铁磁链系统，利用达布变换和规范等价性，我们构造了这一方程的磁孤子解，研究了解的动力学行为，我们发现空间依赖的双线性作用将破坏一些守恒量，对自旋系统有阻尼或振荡的效应，这是一个新的发现，对进一步的物理实验会有所帮助。其二，对于KP-Toda族相关的可积方程，我们研究了两个新的可积方程，即短波近似Novikov方程和修正短脉冲方程，它们跟已知的Tzitzeica方程、Novikov方程、Depasperis-Procesi方程以及短脉冲方程都有密切的联系。我们从数学上明确了这两类方程所属的可积族，构造了它们的行列式解和可积离散。这一结果丰富了可积系统的代数结构的研究。