两类相场模型的高效自适应方法研究

Phase field method is an energy-variation approach with the feature of implicit interface tracking. It is broadly used in many areas such as micro-structure evolution in alloys, chemical reaction, comformational change in macromolecules and so on. Large spatial and temporal scale simulations are usually required in these applications to ensure statistical reliability. However, the traditional uniform mesh discretization is inefficient and the time-step length of explicit time stepping scheme is limited severely by the stiffness of phase field equations. In order to improve the discretization efficiency and relax the stability constraint on time step length, the research has been focused on adaptive methods and (semi-)implicit time stepping schemes for phase field models. Based on extensive research experience in these areas and strong computing and software developing capabilities of the supporting institution, we plan to study elastic strain energy and saddle point problem for phase field model exploiting adaptive method and highly efficient (semi-)implicit time stepping schemes. Our research has the following features: it is aimed at the state-of-the-art algorithms and the frontier problems of phase field model; The design and analysis of the algorithms is guided by the balance between the model error and the spatial and temporal discretization errors; It follows the principle of advancing orderly step by step; It is both innovative and practical. Our research will provide theoretical analysis of adaptive methods for phase field model in new areas and practical guidelines for efficient phase field simulations.

相场模型具有隐式追踪界面和基于能量变分的特点，被广泛应用在合金微结构演化、化学反应、高分子构象变化等等多个方面。为保证模拟结果具有良好的统计性，需采用大尺度、长时间的模拟。传统的均匀网格离散方法效率低；显式时间积分格式时间步长受相场方程的刚性、算法稳定性的限制强。自适应网格的离散可以提高网格效率，半隐式和隐式的时间积分格式可以放松稳定性限制。因此自适应方法和半隐式、隐式时间积分格式是目前相场模型算法研究的主流。我们将依托在这些方面的研究基础和申请支撑单位强大的算法设计实现以及计算能力；针对相场模型鞍点问题和弹性应变能与自适应方法结合的国际前沿问题；基于综合考虑模型、时间和空间误差的思想；采取由简到繁、由易到难的策略进行相场模型高效自适应（半）隐式算法的研究，既有创新性又有实用性。对于相场模型自适应算法理论、相场模拟效率的提高和应用的扩展都具有重要的理论和实践上的指导意义。

相场模型具有隐式追踪界面和基于能量变分的特点，被广泛应用在合金微结构演化、化学反应、高分子构象变化等等多个方面。为保证模拟结果具有良好的统计性，需采用大尺度、长时间的模拟。传统的均匀网格离散方法效率低；显式时间积分格式时间步长受相场方程的刚性、算法稳定性的限制强。自适应网格的离散可以提高网格效率，半隐式和隐式、指数时间差分等时间积分格式可以放松稳定性限制。 因此自适应方法和大时间步长积分格式是目前相场模型算法研究的主流。我们从实际应用需求出发，针对鞍点问题和弹性能两类相场模型研究高效算法和自适应方法。为实现大体系、长时间的相场模拟，在大时间步长时间积分格式和自适应方法、并行算法、材料科学微结构演化相场模拟应用验证等方面均完成预期目标，取得了一系列创新成果。 .针对相场模型鞍点问题对应的扩展动力系统（Shrinking Dimer Dynamics, SDD）设计了块结构化自适应网格加细放粗准则以及多种大时间步长积分格式，包括半隐式、隐式有限差分，指数时间差分等, 进行了稳定性、误差等方面分析；针对扩展动力系统设计了自适应时间步长和格式阶数的自适应选择准则；针对Allen-Cahn系统分析了稳定性条件对于模型界面宽度参数的依赖关系，对于高分辨率模拟具有重要指导意义。提出了相场方程的“可扩展紧致指数时间差分”（ScLETD）算法，通过局部化指数时间差分和子区域耦合算法实现了稳定、高阶精确、高可扩展的目标。结合形核、粗化模拟等实际应用进行了算法验证和示范。借助“神威神威•太湖之光”进行了基于可变迁移率Cahn-Hilliard方程的3000亿基元的长时间粗化过程模拟。之前同类模拟能力为1-2亿基元，与Allen-Cahn方程的模拟能力（100亿基元）有近百倍差距。 这一工作表明借助本项目发展的可扩展大时间步长求解器和顶级高性能计算平台，我们已具备复杂形貌微组织演化高精度模拟能力，具有重要意义, 也因此入围高性能计算应用领域最高奖项 “Gordon Bell Prize”决赛。项目发展的相场模拟软件ScETD-PF已经在中国科学院金属研究所应用，进行钛铝间金属化合物微组织演化模拟，并取得好评。